Um engenheiro civil está projetando uma represa e precisa calcular a quantidade de concreto necessária para construir a parede da represa. A forma da parede é aproximadamente triangular, com a base medindo 100 metros e a altura variando de 0 metros na base até 50 metros no topo. Para calcular a quantidade total de concreto necessária, o engenheiro divide a parede em 10 seções verticais de larguras iguais e calcula a área de cada seção, que representa a quantidade de concreto necessária para construir essa parte da parede.
(a) Escreva a função que representa a altura h(x) da parede em função da posição horizontal x, onde x varia de 0 a 100 metros.
(b) Calcule a área de cada seção da parede como função de x.
© Use integração para encontrar a quantidade total de concreto necessária para construir a parede da represa.
(a) Escreva a função que representa a altura h(x) da parede em função da posição horizontal x, onde x varia de 0 a 100 metros.
(b) Calcule a área de cada seção da parede como função de x.
© Use integração para encontrar a quantidade total de concreto necessária para construir a parede da represa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! O engenheiro civil quer calcular a quantidade de concreto necessária para a parede de uma represa que tem o formato de um triângulo. A base da parede mede 100 metros e a altura vai de 0 metros na base até 50 metros no topo. Vamos precisar usar um pouco de geometria e cálculo, especificamente funções lineares e integração, para achar essa quantidade de concreto.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na parte (a): encontrar a função que representa a altura $ h(x) $ da parede em função da posição horizontal $ x $.
Imagine que $ x $ começa em 0 na base e vai até 100 metros no topo. A altura $ h(x) $ varia linearmente de 0 a 50 metros conforme $ x $ aumenta de 0 para 100. Isso significa que a função $ h(x) $ é uma reta.
Para achar a equação dessa reta, usamos a fórmula geral $ h(x) = mx + b $, onde $ m $ é a inclinação e $ b $ é o intercepto.
Aqui, quando $ x = 0 $, $ h(x) = 0 $, então $ b = 0 $.
A inclinação $ m $ é a taxa de variação da altura em relação a $ x $, que é $ \frac{50}{100} = 0.5 $.
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b): calcular a área de cada seção da parede como função de $ x $.
O engenheiro dividiu a parede em 10 seções verticais de larguras iguais. Cada seção tem uma largura de $ \Delta x = \frac{100}{10} = 10 $ metros.
Para cada seção, a altura é dada por $ h(x) = 0.5x $.
A área de cada seção, que representa a quantidade de concreto necessária para essa parte da parede, é a área de um retângulo com largura $ \Delta x $ e altura $ h(x) $.
Então, a área $ A(x) $ de cada seção é:
Passo 4
Finalmente, vamos resolver a parte ©: usar integração para encontrar a quantidade total de concreto necessária para construir a parede da represa.
A integração nos ajuda a somar infinitas pequenas áreas para obter a área total. No nosso caso, queremos integrar a função de área $ A(x) = 5x $ de $ x = 0 $ até $ x = 100 $.
A integral fica assim:
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Primeiro, encontramos a antiderivada de $ 5x $, que é $ \frac{5}{2}x^2 $.
Então, avaliamos de 0 a 100:
Resposta
A quantidade total de concreto necessária para construir a parede da represa é de 25.000 metros cúbicos.