O tempo necessário para dobrar um investimento aplicado a uma taxa 6,25 composta anualmente é de aproximadamente quantos anos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir quanto tempo leva para dobrar um investimento que rende 6,25% ao ano com juros compostos. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de juros compostos, que é fundamental para calcular o crescimento de investimentos ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula dos juros compostos:
A = P times (1 + r)^t
Aqui:
- $ A $ é o valor final do investimento,
- $ P $ é o valor inicial (principal),
- $ r $ é a taxa de juros anual (em decimal),
- $ t $ é o tempo em anos.

Passo 3

Como queremos dobrar o investimento, $ A = 2P $. Vamos substituir isso na fórmula:
A = 2P
Note que 6,25% é convertido para decimal como 0,0625.

Passo 4

Agora, podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por $ P $:
P
Ou seja:
2 = (1 + 0.0625)^t

Passo 5

Para resolver para $ t $, vamos usar logaritmos. Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
t

Passo 6

Isolando $ t $:
t

Passo 7

Agora, vamos calcular os valores:
  • $ \ln(2) \approx 0.6931 $
  • $ \ln(1.0625) \approx 0.0606 $
Então:
ln(2) approx 0.6931

Resposta

O tempo necessário para dobrar o investimento é aproximadamente 11,43 anos.

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