Um engenheiro conduziu um estudo com o objetivo de verificar o rendimento de uma reação química (Y), em função da temperatura do processo (X). Os resultados obtidos foram os seguintes:
X 5 10 15 20 25
Y 14 20 25 28 32
Calcule:
n) sumi=1^n xi yi-sumi=1^n xi sumi=1^n yinraiz[sumi=1^n xi^2-(sumi=1^n xi)^2n][sumi=1^n yi^2-(sumi=1^n yi)^2n].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde um engenheiro quer ver como a temperatura ( X) afeta o rendimento de uma reação química ( Y). Ele colocou alguns dados na tabela:
X 5 10 15 20 25
Y 14 20 25 28 32
A gente precisa calcular uma fórmula que parece complicada, mas na real é o coeficiente de correlação de Pearson. Esse coeficiente nos ajuda a entender se há uma relação entre X e Y e quão forte essa relação é. Para isso, vamos precisar calcular algumas somas e aplicar a fórmula direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todos os valores de X e Y:
  • X: 5, 10, 15, 20, 25
  • Y: 14, 20, 25, 28, 32
Vamos também anotar quantos pares de dados temos. Nesse caso, n = 5.

Passo 3

Agora, vamos calcular as somas que a fórmula pede. Precisamos de:
  • sum X: a soma de todos os valores de X
  • sum Y: a soma de todos os valores de Y
  • sum XY: a soma dos produtos de cada par Xi cdot Yi
  • sum X^2: a soma dos quadrados de cada X
  • sum Y^2: a soma dos quadrados de cada Y
Vamos fazer isso passo a passo:
  1. sum X = 5 + 10 + 15 + 20 + 25 = 75
  2. sum Y = 14 + 20 + 25 + 28 + 32 = 119
  3. sum XY = (5 cdot 14) + (10 cdot 20) + (15 cdot 25) + (20 cdot 28) + (25 cdot 32) = 70 + 200 + 375 + 560 + 800 = 2005
  4. sum X^2 = 5^2 + 10^2 + 15^2 + 20^2 + 25^2 = 25 + 100 + 225 + 400 + 625 = 1375
  5. sum Y^2 = 14^2 + 20^2 + 25^2 + 28^2 + 32^2 = 196 + 400 + 625 + 784 + 1024 = 3029

Passo 4

Agora que temos todas as somas necessárias, vamos colocar na fórmula do coeficiente de correlação de Pearson:
r = sum XY - (sum X)(sum Y)nraiz(sum X^2 - (sum X)^2n) (sum Y^2 - (sum Y)^2n)
Vamos substituir os valores que calculamos:
  • sum XY = 2005
  • (sum X)(sum Y) = 75 cdot 119 = 8925
  • sum X^2 = 1375
  • (sum X)^2 = 75^2 = 5625
  • sum Y^2 = 3029
  • (sum Y)^2 = 119^2 = 14161

Passo 5

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Numerador:
    sum XY - (sum X)(sum Y)n = 2005 - 89255 = 2005 - 1785 = 220
  2. Denominador:
    Primeiro, a parte de X:
    sum X^2 - (sum X)^2n = 1375 - 56255 = 1375 - 1125 = 250
    Agora, a parte de Y:
    sum Y^2 - (sum Y)^2n = 3029 - 141615 = 3029 - 2832.2 = 196.8
    Multiplicando as duas partes:
    250 cdot 196.8 = 49200
    Tirando a raiz quadrada:
    raiz49200 approx 221.8

Passo 6

Finalmente, vamos colocar tudo junto na fórmula:
r = 220221.8 approx 0.992

Resposta

O coeficiente de correlação de Pearson é aproximadamente 0.992.

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