Um engenheiro está estudando a durabilidade, em quilômetros, de um novo pneu. De um lote de 100 pneus, ele selecionou, ao acaso, 16 e os testou numa estrada até o fim de suas vidas úteis. Os quilômetros médios e o desvio padrão foram 60.139,7 km e 3.645,94 km, respectivamente. Se é possível demostrar que a durabilidade média do novo pneu é maior que 60.000 km então a companhia continuará fabricando-o. Caso contrário, sua produção será suspensa. Assuma normalidade.
b. Apresente a região crítica associada ao nível de significância de 5%

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um engenheiro testando a durabilidade de pneus novos. Ele tirou uma amostra de 16 pneus e descobriu que a média é de 60.139,7 km com um desvio padrão de 3.645,94 km. Queremos saber se a média realmente é maior que 60.000 km para a empresa continuar fabricando esses pneus. Para resolver isso, vamos usar o teste de hipótese na estatística, especificamente um teste unilateral com nível de significância de 5%.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma região crítica. É a parte do nosso espaço de possibilidades onde, se nossa estatística de teste cair lá, rejeitamos a hipótese nula. Como estamos usando um nível de significância de 5%, isso significa que temos 5% de chance de cometer um erro tipo I (rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira).

Passo 3

Como estamos lidando com uma amostra pequena (16 pneus) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student para determinar a região crítica. A fórmula para o valor t é:
t = barx - mu0sraizn
Onde:
  • barx = 60.139,7 km (média da amostra)
  • mu0 = 60.000 km (média hipotética)
  • s = 3.645,94 km (desvio padrão da amostra)
  • n = 16 (tamanho da amostra)

Passo 4

Como estamos fazendo um teste unilateral à direita (queremos saber se a média é maior), a região crítica estará na extremidade direita da distribuição t. Vamos procurar o valor t que deixa 5% na cauda direita.
Para isso, precisamos dos graus de liberdade (gl), que é n - 1 = 16 - 1 = 15.
Consultando uma tabela de t de Student ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico t para 15 gl e um nível de significância de 5% é aproximadamente 1,753.

Passo 5

Portanto, a região crítica é qualquer valor de t maior que 1,753. Se o nosso t calculado a partir dos dados da amostra for maior que esse valor, rejeitamos a hipótese nula e concluímos que a durabilidade média é significativamente maior que 60.000 km.

Resposta

A região crítica para o teste unilateral com nível de significância de 5% é t > 1,753.

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