Um engenheiro está estudando a durabilidade, em quilômetros, de um novo pneu. De um lote de 100 pneus, ele selecionou, ao acaso, 16 e os testou numa estrada até o fim de suas vidas úteis. Os quilômetros médios e o desvio padrão foram
e
, respectivamente. Se é possível demostrar que a durabilidade média do novo pneu é maior que 60.000 km então a companhia continuará fabricando-o. Caso contrário, sua produção será suspensa. Assuma normalidade.
b. Apresente a região crítica associada ao nível de significância de 5%
b. Apresente a região crítica associada ao nível de significância de 5%
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um engenheiro testando a durabilidade de pneus novos. Ele tirou uma amostra de 16 pneus e descobriu que a média é de
km com um desvio padrão de
km. Queremos saber se a média realmente é maior que
km para a empresa continuar fabricando esses pneus. Para resolver isso, vamos usar o teste de hipótese na estatística, especificamente um teste unilateral com nível de significância de 5%.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma região crítica. É a parte do nosso espaço de possibilidades onde, se nossa estatística de teste cair lá, rejeitamos a hipótese nula. Como estamos usando um nível de significância de 5%, isso significa que temos 5% de chance de cometer um erro tipo I (rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira).
Passo 3
Como estamos lidando com uma amostra pequena (16 pneus) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student para determinar a região crítica. A fórmula para o valor t é:
Onde:
-
km (média da amostra) -
km (média hipotética) -
km (desvio padrão da amostra) -
(tamanho da amostra)
Passo 4
Como estamos fazendo um teste unilateral à direita (queremos saber se a média é maior), a região crítica estará na extremidade direita da distribuição t. Vamos procurar o valor t que deixa 5% na cauda direita.
Para isso, precisamos dos graus de liberdade (gl), que é
.
Consultando uma tabela de t de Student ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico t para 15 gl e um nível de significância de 5% é aproximadamente
.
Passo 5
Portanto, a região crítica é qualquer valor de t maior que
. Se o nosso t calculado a partir dos dados da amostra for maior que esse valor, rejeitamos a hipótese nula e concluímos que a durabilidade média é significativamente maior que
km.
Resposta
A região crítica para o teste unilateral com nível de significância de 5% é
.