Uma nova máquina de engarrafamento de vinho está sendo testada para verificar, estatisticamente, se diminui a variação do líquido enchido nas garrafas. Em uma amostra aleatória de 15 garrafas, obteve-se uma média de 753 ml com desvio padrão de 2,2 ml. Qual deve ser a conclusão ao nível de significância de 0,01, se a máquina atual enche as garrafas com uma variabilidade de 9 ml^2 ? Assuma que a quantidade de vinho enchida nas garrafas é uma variável aleatória que segue uma distribuição Normal.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma nova máquina de engarrafamento de vinho e queremos saber se ela realmente diminui a variação do líquido enchido nas garrafas. Para isso, usamos estatística, especificamente o teste de hipótese sobre a variância de uma distribuição normal. A gente vai precisar entender conceitos como variância, hipóteses nula e alternativa, além de usar a distribuição qui-quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar. A hipótese nula ($ H_0 H0 éâáéáó H_1 $) é que a variância da nova máquina é menor que a da máquina atual. Isso porque queremos verificar se a nova máquina reduz a variabilidade.
H1

Passo 3

Agora, vamos escolher o teste adequado. Como estamos comparando a variância e sabemos que a distribuição é normal, o teste qui-quadrado ($ \chi^2 $) é o apropriado. A fórmula para o teste é:
chi^2
Onde:
  • $ n $ é o tamanho da amostra,
  • $ s^2 $ é a variância da amostra,
  • $ \sigma_0^2 $ é a variância conforme a hipótese nula.

Passo 4

Vamos calcular o valor do teste qui-quadrado com os dados fornecidos:
  • Tamanho da amostra ($ n $) = 15
  • Variância da amostra ($ s^2 $) = $ 2,2^2 = 4,84 , ml^2 $
  • Variância da hipótese nula ($ \sigma_0^2 $) = 9 ml²
Substituindo na fórmula:
n

Passo 5

Vamos determinar o valor crítico para o nível de significância de 0,01 e graus de liberdade $ df = n - 1 = 14 $. Consultando a tabela qui-quadrado, o valor crítico para uma cauda (teste unilateral) com $ df = 14 $ e $ \alpha = 0,01 $ é aproximadamente 6,571.

Passo 6

Comparamos o valor calculado do teste ($ \chi^2 \approx 7,53 $) com o valor crítico (6,571):
  • Se $ \chi^2 $ calculado > valor crítico, não rejeitamos $ H_0 $.
  • Se $ \chi^2 $ calculado ≤ valor crítico, rejeitamos $ H_0 $.
No nosso caso, $ 7,53 > 6,571 $, então não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com nível de significância de 0,01, não temos evidências suficientes para concluir que a nova máquina diminui a variabilidade do líquido enchido nas garrafas.

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