Uma nova máquina de engarrafamento de vinho está sendo testada para verificar, estatisticamente, se diminui a variação do líquido enchido nas garrafas. Em uma amostra aleatória de 15 garrafas, obteve-se uma média de 753 ml com desvio padrão de 2,2 ml. Qual deve ser a conclusão ao nível de significância de 0,01, se a máquina atual enche as garrafas com uma variabilidade de
? Assuma que a quantidade de vinho enchida nas garrafas é uma variável aleatória que segue uma distribuição Normal.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma nova máquina de engarrafamento de vinho e queremos saber se ela realmente diminui a variação do líquido enchido nas garrafas. Para isso, usamos estatística, especificamente o teste de hipótese sobre a variância de uma distribuição normal. A gente vai precisar entender conceitos como variância, hipóteses nula e alternativa, além de usar a distribuição qui-quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar. A hipótese nula ($ H_0
H_1 $) é que a variância da nova máquina é menor que a da máquina atual. Isso porque queremos verificar se a nova máquina reduz a variabilidade.
Passo 3
Agora, vamos escolher o teste adequado. Como estamos comparando a variância e sabemos que a distribuição é normal, o teste qui-quadrado ($ \chi^2 $) é o apropriado. A fórmula para o teste é:
Onde:
- $ n $ é o tamanho da amostra,
- $ s^2 $ é a variância da amostra,
- $ \sigma_0^2 $ é a variância conforme a hipótese nula.
Passo 4
Vamos calcular o valor do teste qui-quadrado com os dados fornecidos:
- Tamanho da amostra ($ n $) = 15
- Variância da amostra ($ s^2 $) = $ 2,2^2 = 4,84 , ml^2 $
- Variância da hipótese nula ($ \sigma_0^2 $) = 9 ml²
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos determinar o valor crítico para o nível de significância de 0,01 e graus de liberdade $ df = n - 1 = 14 $. Consultando a tabela qui-quadrado, o valor crítico para uma cauda (teste unilateral) com $ df = 14 $ e $ \alpha = 0,01 $ é aproximadamente 6,571.
Passo 6
Comparamos o valor calculado do teste ($ \chi^2 \approx 7,53 $) com o valor crítico (6,571):
- Se $ \chi^2 $ calculado > valor crítico, não rejeitamos $ H_0 $.
- Se $ \chi^2 $ calculado ≤ valor crítico, rejeitamos $ H_0 $.
No nosso caso, $ 7,53 > 6,571 $, então não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com nível de significância de 0,01, não temos evidências suficientes para concluir que a nova máquina diminui a variabilidade do líquido enchido nas garrafas.