NÍVEL <br> PERCENTUAL <br> DE TALCO TAMANHO DA <br> AMOSTRA MÉDIA DESVIO <br> PADRÃO
Baixo 8 64,75 9,96
Alto 8 66,39 8,08
Os dados mostram evidência suficiente para afirmar que a dureza média do produto fabricado no nível baixo de percentual de talco é menor do que a dureza média de alto percentual de talco, ao nível de significância de ? Supor normalidade dos dados e variâncias populacionais diferentes.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas amostras:
  • Baixo percentual de talco: tamanho da amostra ( ) é 8, média ( ) é 64,75 e desvio padrão ( ) é 9,96.
  • Alto percentual de talco: tamanho da amostra ( ) é 8, média ( ) é 66,39 e desvio padrão ( ) é 8,08.
Queremos verificar se a dureza média do produto com baixo percentual de talco é menor do que a de alto percentual, usando um nível de significância de . Vamos usar o teste t de Student para duas amostras com variâncias diferentes.

Passo 2

Vamos estabelecer as hipóteses para o teste:
  • Hipótese nula ( ): A média da dureza no baixo percentual de talco é igual ou maior que no alto percentual.
  • Hipótese alternativa ( ): A média da dureza no baixo percentual de talco é menor que no alto percentual.

Passo 3

Como estamos assumindo que as variâncias são diferentes e as amostras são independentes, usamos a seguinte fórmula para calcular o valor da estatística t:
Substituindo os valores:
Vamos calcular passo a passo:
  1. Calculando a diferença das médias:
  2. Calculando os termos dentro da raiz:
  3. Somando os termos:
  4. Calculando a raiz quadrada:
  5. Calculando t:

Passo 4

Agora, precisamos determinar os graus de liberdade para o teste t de variâncias diferentes. Usamos a fórmula de Welch:
Substituindo os valores:
Arredondamos para o inteiro mais próximo: .

Passo 5

Com o valor de t calculado ( ) e os graus de liberdade ( ), vamos verificar a tabela t de Student para encontrar o valor p correspondente ao teste unilateral à esquerda.
Usando uma tabela ou ferramenta estatística, encontramos que para e , o valor p é aproximadamente .

Passo 6

Comparamos o valor p com o nível de significância de ( ):
  • Se , rejeitamos a hipótese nula.
  • Se , não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso, , então não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Não há evidência suficiente para afirmar que a dureza média do produto com baixo percentual de talco é menor do que a de alto percentual de talco ao nível de significância de .

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Seja uma função tal que: e .
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(a)
(b)
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