NÍVEL <br> PERCENTUAL <br> DE TALCO | TAMANHO DA <br> AMOSTRA | MÉDIA | DESVIO <br> PADRÃO |
---|---|---|---|
Baixo | 8 | 64,75 | 9,96 |
Alto | 8 | 66,39 | 8,08 |
Os dados mostram evidência suficiente para afirmar que a dureza média do produto fabricado no nível baixo de percentual de talco é menor do que a dureza média de alto percentual de talco, ao nível de significância de
? Supor normalidade dos dados e variâncias populacionais diferentes.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas amostras:
- Baixo percentual de talco: tamanho da amostra (
) é 8, média ( ) é 64,75 e desvio padrão ( ) é 9,96. - Alto percentual de talco: tamanho da amostra (
) é 8, média ( ) é 66,39 e desvio padrão ( ) é 8,08.
Queremos verificar se a dureza média do produto com baixo percentual de talco é menor do que a de alto percentual, usando um nível de significância de
. Vamos usar o teste t de Student para duas amostras com variâncias diferentes.
Passo 2
Vamos estabelecer as hipóteses para o teste:
-
Hipótese nula (
): A média da dureza no baixo percentual de talco é igual ou maior que no alto percentual. -
Hipótese alternativa (
): A média da dureza no baixo percentual de talco é menor que no alto percentual.
Passo 3
Como estamos assumindo que as variâncias são diferentes e as amostras são independentes, usamos a seguinte fórmula para calcular o valor da estatística t:
Substituindo os valores:
Vamos calcular passo a passo:
-
Calculando a diferença das médias:
-
Calculando os termos dentro da raiz:
-
Somando os termos:
-
Calculando a raiz quadrada:
-
Calculando t:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os graus de liberdade para o teste t de variâncias diferentes. Usamos a fórmula de Welch:
Substituindo os valores:
Arredondamos para o inteiro mais próximo:
.
Passo 5
Com o valor de t calculado (
) e os graus de liberdade (
), vamos verificar a tabela t de Student para encontrar o valor p correspondente ao teste unilateral à esquerda.
Usando uma tabela ou ferramenta estatística, encontramos que para
e
, o valor p é aproximadamente
.
Passo 6
Comparamos o valor p com o nível de significância de
(
):
- Se
, rejeitamos a hipótese nula. - Se
, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso,
, então não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Não há evidência suficiente para afirmar que a dureza média do produto com baixo percentual de talco é menor do que a de alto percentual de talco ao nível de significância de
.