NÍVEL <br> PERCENTUAL <br> DE TALCO TAMANHO DA <br> AMOSTRA MÉDIA DESVIO <br> PADRÃO
Baixo 8 64,75 9,96
Alto 8 66,39 8,08
Os dados mostram evidência suficiente para afirmar que a dureza média do produto fabricado no nível baixo de percentual de talco é menor do que a dureza média de alto percentual de talco, ao nível de significância de 5 % ? Supor normalidade dos dados e variâncias populacionais diferentes.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas amostras:
  • Baixo percentual de talco: tamanho da amostra ( n1) é 8, média ( barx1) é 64,75 e desvio padrão ( s1) é 9,96.
  • Alto percentual de talco: tamanho da amostra ( n2) é 8, média ( barx2) é 66,39 e desvio padrão ( s2) é 8,08.
Queremos verificar se a dureza média do produto com baixo percentual de talco é menor do que a de alto percentual, usando um nível de significância de 5%. Vamos usar o teste t de Student para duas amostras com variâncias diferentes.

Passo 2

Vamos estabelecer as hipóteses para o teste:
  • Hipótese nula ( H0): A média da dureza no baixo percentual de talco é igual ou maior que no alto percentual.
    H0: mu1 >= mu2
  • Hipótese alternativa ( Ha): A média da dureza no baixo percentual de talco é menor que no alto percentual.
    Ha: mu1 < mu2

Passo 3

Como estamos assumindo que as variâncias são diferentes e as amostras são independentes, usamos a seguinte fórmula para calcular o valor da estatística t:
t = barx1 - barx2raizs1^2n1 + s2^2n2
Substituindo os valores:
t = 64,75 - 66,39raiz9,96^28 + 8,08^28
Vamos calcular passo a passo:
  1. Calculando a diferença das médias:
    64,75 - 66,39 = -1,64
  2. Calculando os termos dentro da raiz:
    9,96^28 = 99,20168 = 12,4002
    8,08^28 = 65,28648 = 8,1608
  3. Somando os termos:
    12,4002 + 8,1608 = 20,561
  4. Calculando a raiz quadrada:
    raiz20,561 ≈ 4,534
  5. Calculando t:
    t = -1,644,534 ≈ -0,362

Passo 4

Agora, precisamos determinar os graus de liberdade para o teste t de variâncias diferentes. Usamos a fórmula de Welch:
df = ( s1^2n1 + s2^2n2 )^2( s1^2n1 )^2n1 - 1 + ( s2^2n2 )^2n2 - 1
Substituindo os valores:
df = (12,4002 + 8,1608)^212,4002^27 + 8,1608^27 = 20,561^2153,6337 + 66,59467 = 422,66724,8047 + 9,5135 = 422,66734,3182 ≈ 12,30
Arredondamos para o inteiro mais próximo: df ≈ 12.

Passo 5

Com o valor de t calculado ( -0,362) e os graus de liberdade ( 12), vamos verificar a tabela t de Student para encontrar o valor p correspondente ao teste unilateral à esquerda.
Usando uma tabela ou ferramenta estatística, encontramos que para t = -0,362 e df = 12, o valor p é aproximadamente 0,363.

Passo 6

Comparamos o valor p com o nível de significância de 5% ( 0,05):
  • Se p <= 0,05, rejeitamos a hipótese nula.
  • Se p > 0,05, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso, 0,363 > 0,05, então não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Não há evidência suficiente para afirmar que a dureza média do produto com baixo percentual de talco é menor do que a de alto percentual de talco ao nível de significância de 5%.

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