Karim joga uma moeda honesta 84 vezes. Calcule a probabilidade de que a moeda caia cara mais de 50 vezes, usando (a) a distribuição exata; (b) uma aproximação normal adequada (use o fator de correção).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício diz que o Karim joga uma moeda honesta 84 vezes e queremos saber qual a probabilidade de sair cara mais de 50 vezes. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de probabilidade e distribuição binomial para a parte (a) e uma aproximação normal para a parte (b). Vamos precisar entender como calcular probabilidades exatas e como aproximar com a distribuição normal usando o fator de correção.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a) usando a distribuição binomial. A distribuição binomial é usada quando temos experimentos com apenas dois resultados possíveis (neste caso, cara ou coroa), e queremos saber a probabilidade de obter um certo número de sucessos (caras) em um número fixo de tentativas.
A fórmula da distribuição binomial é:
Onde:
-
é o número de tentativas. -
é o número de sucessos que queremos (mais de 50 caras). -
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (moeda honesta).
Passo 3
Para encontrar a probabilidade de obter mais de 50 caras, ou seja,
, vamos somar as probabilidades de obter 51, 52, …, até 84 caras.
Isso pode ser simplificado para:
Passo 4
Calcular essa soma diretamente pode ser trabalhoso, mas usando uma calculadora ou software estatístico, conseguimos obter o valor exato dessa probabilidade. No entanto, geralmente essa probabilidade é muito pequena, já que 50 caras é a média esperada para uma moeda honesta em 84 lançamentos.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b), onde usaremos uma aproximação normal para calcular a mesma probabilidade. A distribuição binomial pode ser aproximada por uma distribuição normal quando o número de tentativas
é grande e a probabilidade
não é muito próxima de 0 ou 1.
A média (
) e o desvio padrão (
) da distribuição binomial são dados por:
Vamos calcular esses valores:
Passo 6
Para usar a aproximaç��o normal, precisamos aplicar o fator de correção de continuidade. Isso é porque estamos aproximando uma distribuição discreta (binomial) por uma contínua (normal). Para calcular
, usamos:
Aqui, adicionamos 0.5 a 50 para corrigir a continuidade.
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a probabilidade correspondente ao valor de
na tabela da distribuição normal padrão.
Consultando a tabela ou usando uma calculadora, encontramos que:
Resposta
(a) Usando a distribuição binomial exata, a probabilidade de sair mais de 50 caras em 84 lançamentos é aproximadamente 0.00007 (ou 0.007%).
(b) Usando a aproximação normal com fator de correção, a probabilidade é aproximadamente 3.2%.