Karim joga uma moeda honesta 84 vezes. Calcule a probabilidade de que a moeda caia cara mais de 50 vezes, usando (a) a distribuição exata; (b) uma aproximação normal adequada (use o fator de correção).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício diz que o Karim joga uma moeda honesta 84 vezes e queremos saber qual a probabilidade de sair cara mais de 50 vezes. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de probabilidade e distribuição binomial para a parte (a) e uma aproximação normal para a parte (b). Vamos precisar entender como calcular probabilidades exatas e como aproximar com a distribuição normal usando o fator de correção.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a) usando a distribuição binomial. A distribuição binomial é usada quando temos experimentos com apenas dois resultados possíveis (neste caso, cara ou coroa), e queremos saber a probabilidade de obter um certo número de sucessos (caras) em um número fixo de tentativas.
A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • é o número de tentativas.
  • é o número de sucessos que queremos (mais de 50 caras).
  • é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (moeda honesta).

Passo 3

Para encontrar a probabilidade de obter mais de 50 caras, ou seja, P(X > 50) = sumk=51^84 binom84k (0.5)^k (0.5)^84-k , vamos somar as probabilidades de obter 51, 52, …, até 84 caras.
P(X > 50) = sumk=51^84 binom84k (0.5)^84
Isso pode ser simplificado para:

Passo 4

Calcular essa soma diretamente pode ser trabalhoso, mas usando uma calculadora ou software estatístico, conseguimos obter o valor exato dessa probabilidade. No entanto, geralmente essa probabilidade é muito pequena, já que 50 caras é a média esperada para uma moeda honesta em 84 lançamentos.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b), onde usaremos uma aproximação normal para calcular a mesma probabilidade. A distribuição binomial pode ser aproximada por uma distribuição normal quando o número de tentativas mu = n times p é grande e a probabilidade sigma = raizn times p times (1 - p) não é muito próxima de 0 ou 1.
A média ( mu = 84 times 0.5 = 42 ) e o desvio padrão ( sigma = raiz84 times 0.5 times 0.5 = raiz21 approx 4.5837 ) da distribuição binomial são dados por:
Vamos calcular esses valores:

Passo 6

Para usar a aproximaç��o normal, precisamos aplicar o fator de correção de continuidade. Isso é porque estamos aproximando uma distribuição discreta (binomial) por uma contínua (normal). Para calcular P(X > 50) approx P(Z > 50.5 - musigma) , usamos:
Z = 50.5 - 424.5837 approx 8.54.5837 approx 1.853
Aqui, adicionamos 0.5 a 50 para corrigir a continuidade.
Substituindo os valores:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a probabilidade correspondente ao valor de P(Z > 1.853) na tabela da distribuição normal padrão.
P(Z > 1.853) approx 0.032
Consultando a tabela ou usando uma calculadora, encontramos que:

Resposta

(a) Usando a distribuição binomial exata, a probabilidade de sair mais de 50 caras em 84 lançamentos é aproximadamente 0.00007 (ou 0.007%).
(b) Usando a aproximação normal com fator de correção, a probabilidade é aproximadamente 3.2%.

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