Em uma enquete, com 500 estudantes, sobre a preferência de cada um com três tipos diferentes de sucos (laranja, manga e acerola), chegou-se ao seguinte resultado: 300 estudantes gostam do suco de laranja; 200 gostam do suco de manga; 150 gostam do suco de acerola; 75 gostam dos sucos de laranja e acerola; 100 gostam dos sucos de laranja e manga; 10 gostam dos três sucos e 65 não gostam de nenhum dos três sucos. O número de alunos que gosta dos sucos de manga e acerola é:
a) 40.
b) 60.
c) 120.
d) 50.
e) 100.
a) 40.
b) 60.
c) 120.
d) 50.
e) 100.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! A gente tem uma enquete com 500 estudantes sobre preferências de sucos: laranja, manga e acerola. A pergunta quer saber quantos alunos gostam dos sucos de manga e acerola. Para resolver isso, vamos usar um pouquinho de teoria de conjuntos e o princípio da inclusão-exclusão. Não se preocupa, vou explicar tudo passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos resumir os dados que a gente tem:
- Total de estudantes: 500
- Gostam de laranja (A): 300
- Gostam de manga (B): 200
- Gostam de acerola ©: 150
- Gostam de laranja e acerola (A ∩ C): 75
- Gostam de laranja e manga (A ∩ B): 100
- Gostam dos três sucos (A ∩ B ∩ C): 10
- Não gostam de nenhum dos três: 65
Passo 3
Primeiro, vamos descobrir quantos estudantes gostam de pelo menos um dos sucos. Sabemos que 65 não gostam de nenhum, então:
Passo 4
Agora, vamos usar o princípio da inclusão-exclusão, que nos ajuda a calcular a união de três conjuntos. A fórmula é:
Vamos substituir os valores que já conhecemos:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Então, temos:
Passo 6
Agora, isolamos $ (B \cap C) $ para encontrar o que queremos:
Resposta
50 estudantes gostam dos sucos de manga e acerola.