Em uma enquete, com 500 estudantes, sobre a preferência de cada um com três tipos diferentes de sucos (laranja, manga e acerola), chegou-se ao seguinte resultado: 300 estudantes gostam do suco de laranja; 200 gostam do suco de manga; 150 gostam do suco de acerola; 75 gostam dos sucos de laranja e acerola; 100 gostam dos sucos de laranja e manga; 10 gostam dos três sucos e 65 não gostam de nenhum dos três sucos. O número de alunos que gosta dos sucos de manga e acerola é:
a) 40.
b) 60.
c) 120.
d) 50.
e) 100.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! A gente tem uma enquete com 500 estudantes sobre preferências de sucos: laranja, manga e acerola. A pergunta quer saber quantos alunos gostam dos sucos de manga e acerola. Para resolver isso, vamos usar um pouquinho de teoria de conjuntos e o princípio da inclusão-exclusão. Não se preocupa, vou explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos resumir os dados que a gente tem:
  • Total de estudantes: 500
  • Gostam de laranja (A): 300
  • Gostam de manga (B): 200
  • Gostam de acerola ©: 150
  • Gostam de laranja e acerola (A ∩ C): 75
  • Gostam de laranja e manga (A ∩ B): 100
  • Gostam dos três sucos (A ∩ B ∩ C): 10
  • Não gostam de nenhum dos três: 65

Passo 3

Primeiro, vamos descobrir quantos estudantes gostam de pelo menos um dos sucos. Sabemos que 65 não gostam de nenhum, então:
Total que gostam de pelo menos um = 500 - 65 = 435

Passo 4

Agora, vamos usar o princípio da inclusão-exclusão, que nos ajuda a calcular a união de três conjuntos. A fórmula é:
A + B + C - (A cap B) - (A cap C) - (B cap C) + (A cap B cap C) = Total que gostam de pelo menos um
Vamos substituir os valores que já conhecemos:
300 + 200 + 150 - 100 - 75 - (B cap C) + 10 = 435

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
300 + 200 + 150 = 650
100 + 75 = 175
650 - 175 = 475
475 + 10 = 485
Então, temos:
485 - (B cap C) = 435

Passo 6

Agora, isolamos $ (B \cap C) $ para encontrar o que queremos:
(B cap C)
485 - 435 = (B cap C)

Resposta

50 estudantes gostam dos sucos de manga e acerola.

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