Se ensaya a la tracción un monocristal de un metaloide de forma prismática rectangular con una base cuadrada de 2 cm de lado y una altura de 15 cm . Debido a la anisotropía (distinto comportamiento según las direcciones) del material, se ha observado que uno de los lados de la base se deforma dos veces más rápido que el otro. Si en un momento dado se determina que por efecto de la tracción de longitud de la pieza aumenta a una taza de 1 mm/s, hallar la taza de variación de ámbos lados de la base.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve deformação de materiais sólidos, especificamente de um monocristal de um metalóide com formato prismático retangular. A base desse prisma é um quadrado de 2 cm de lado e a altura é de 15 cm. Devido à anisotropia do material, ou seja, ele se comporta de maneira diferente em direções distintas, observamos que um dos lados da base se deforma duas vezes mais rápido que o outro. Sabemos também que, por efeito da tração, a comprimento da peça aumenta a uma taxa de 1 mm/s. Nosso objetivo é descobrir a taxa de variação de ambos os lados da base.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de taxas relacionadas e como a anisotropia influencia na deformação dos lados da base.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as variáveis envolvidas:
  • Seja e os comprimentos dos lados da base do prisma.
  • Sabemos que inicialmente a base é um quadrado com cm.
  • A altura do prisma é cm, e ela está aumentando a uma taxa de mm/s.
Como um lado se deforma duas vezes mais rápido que o outro devido à anisotropia, podemos relacionar as taxas de variação de e :

Passo 3

Agora, precisamos relacionar essas taxas de variação com a taxa de variação da altura .
A deformação no material provoca mudanças nos comprimentos das dimensões do prisma. Vamos assumir que o volume do prisma permanece constante durante a deformação (essa é uma simplificação comum para problemas de deformação). Assim, podemos escrever:
Derivando ambos os lados em relação ao tempo :
Aplicando a regra do produto:

Passo 4

Agora, substituímos as relações conhecidas:
Sabemos que e que é constante. Vamos substituir por na equação:
Fatorando :

Passo 5

Agora, vamos isolar :
Simplificando:
Cancelando :

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores conhecidos:
  • cm
  • cm
  • mm/s = 0,1 cm/s
Substituindo na equação:

Passo 7

Agora, encontramos . Como :

Resposta

A taxa de variação dos lados da base é:

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