Seja a função em definida por . Determine a função inversa de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por e precisa encontrar a função inversa dela, ou seja, encontrar uma função tal que . Vamos precisar usar conhecimentos de funções, valor absoluto e como encontrar inversas de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função . Ela é composta por três partes: , e . Os valores absolutos fazem com que a função tenha comportamentos diferentes dependendo dos valores de . Para facilitar, vamos identificar os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal.
Passo 3
Vamos encontrar os valores de que fazem com que e :
Então, os pontos críticos são e . Isso divide a reta real em três intervalos:
Passo 4
Agora, vamos analisar a função em cada intervalo:
1. Para :
Substituindo na função:
2. Para :
Substituindo na função:
3. Para :
Substituindo na função:
Passo 5
Agora que temos a expressão de em cada intervalo, vamos escrever a função por partes:
Para encontrar a inversa, precisamos isolar em termos de para cada intervalo.
1. Para :
2. Para :
3. Para :
Passo 6
Agora, precisamos determinar os intervalos de correspondentes a cada intervalo de .
1. Para :
Então, .
2. Para :
Então, .
3. Para :
Passo 7
Agora, podemos escrever a função inversa por partes, associando cada intervalo de com a expressão correspondente de :