A entrada de um circuito é a tensão
e a saída é a tensão
A função de transferência do circuito é
Determine:
Ganho
;
Ganho
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um circuito onde a tensão de entrada é dada por
e a tensão de saída é
A função de transferência do circuito é
O que precisamos encontrar é o ganho $ H_{o} $.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de transferência em circuitos e como elas relacionam as tensões de entrada e saída em diferentes frequências.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes de frequência na tensão de entrada $ v(t) $ e na tensão de saída $ v_{o}(t) $.
A entrada tem três termos:
- Um termo constante: 2 V
- Um termo em $ \cos(25 t) $
- Um termo em $ \cos(100 t + 45^{\circ}) $
A saída também tem três termos:
- Um termo constante: 5 V
- Um termo em $ \cos(25 t - 45^{\circ}) $
- Um termo em $ \cos(\omega_{4} t + \theta_{4}) $
Notamos que o termo constante na entrada gera um termo constante na saída, e o termo em $ \cos(25 t) $ na entrada gera um termo em $ \cos(25 t - 45^{\circ}) $ na saída.
Passo 3
Vamos focar nos termos que têm a mesma frequência na entrada e na saída para relacionar com a função de transferência.
Para a frequência $ \omega = 25 $ rad/s:
- Entrada: $ 4 \cos(25 t) $
- Saída: $ 7,071 \cos(25 t - 45^{\circ}) $
Sabemos que a função de transferência $ H(\omega) $ relaciona a amplitude e a fase da saída em relação à entrada. Portanto:
Passo 4
Calculando a amplitude de $ H(25) $:
E a fase é $ -45^{\circ} $.
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos comparar isso com a função de transferência dada:
Para $ \omega = 25 $ rad/s:
Queremos igualar isso ao que encontramos anteriormente:
Passo 6
Para resolver isso, vamos converter a expressão à direita para a forma retangular:
Então:
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por $ 1 + j \frac{25}{p} $, temos:
Vamos expandir essa expressão:
Como $ j^2 = -1 $:
Passo 8
Para que a parte imaginária seja zero (já que $ H_{o} $ é um ganho real), devemos ter:
Passo 9
Agora, substituindo $ p = 25 $ na expressão de $ H_{o} $:
Resposta
O ganho $ H_{o} $ do circuito é $ 2,5 $.