A entrada de um circuito é a tensão
v(t)=2+4 cos (25 t)+5 cos (100 t+45^circ) V
e a saída é a tensão
vo(t)=5+7,071 cos (25 t-45^circ)+c4 cos (omega4 t+theta4) V
A função de transferência do circuito é
H(omega)=Vo(omega)Vi(omega)=Ho1+j omegap
Determine:
Ganho Ho;

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um circuito onde a tensão de entrada é dada por
v(t) = 2 + 4 cos(25 t) + 5 cos(100 t + 45^circ) , V
e a tensão de saída é
vo(t) = 5 + 7,071 cos(25 t - 45^circ) + c4 cos(omega4 t + theta4) , V
A função de transferência do circuito é
H(omega) = Vo(omega)Vi(omega) = Ho1 + j omegap
O que precisamos encontrar é o ganho $ H_{o} $.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de transferência em circuitos e como elas relacionam as tensões de entrada e saída em diferentes frequências.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes de frequência na tensão de entrada $ v(t) $ e na tensão de saída $ v_{o}(t) $.
A entrada tem três termos:
  • Um termo constante: 2 V
  • Um termo em $ \cos(25 t) $
  • Um termo em $ \cos(100 t + 45^{\circ}) $
A saída também tem três termos:
  • Um termo constante: 5 V
  • Um termo em $ \cos(25 t - 45^{\circ}) $
  • Um termo em $ \cos(\omega_{4} t + \theta_{4}) $
Notamos que o termo constante na entrada gera um termo constante na saída, e o termo em $ \cos(25 t) $ na entrada gera um termo em $ \cos(25 t - 45^{\circ}) $ na saída.

Passo 3

Vamos focar nos termos que têm a mesma frequência na entrada e na saída para relacionar com a função de transferência.
Para a frequência $ \omega = 25 $ rad/s:
  • Entrada: $ 4 \cos(25 t) $
  • Saída: $ 7,071 \cos(25 t - 45^{\circ}) $
Sabemos que a função de transferência $ H(\omega) $ relaciona a amplitude e a fase da saída em relação à entrada. Portanto:
omega = 25

Passo 4

Calculando a amplitude de $ H(25) $:
H(25)
E a fase é $ -45^{\circ} $.
Então, temos:
7,0714 = 1,76775

Passo 5

Agora, vamos comparar isso com a função de transferência dada:
H(omega) = Ho1 + j omegap
Para $ \omega = 25 $ rad/s:
omega = 25
Queremos igualar isso ao que encontramos anteriormente:
H(25) = Ho1 + j 25p

Passo 6

Para resolver isso, vamos converter a expressão à direita para a forma retangular:
1,76775 ang<= -45^circ = 1,76775 (cos(-45^circ) + j sin(-45^circ)) = 1,76775 ( raiz22 - j raiz22 )
= 1,76775 raiz22 - j 1,76775 raiz22 approx 1,25 - j1,25
Então:
Ho1 + j 25p = 1,25 - j1,25

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por $ 1 + j \frac{25}{p} $, temos:
1 + j 25p
Vamos expandir essa expressão:
Ho = (1,25 - j1,25) (1 + j 25p)
Ho = 1,25 cdot 1 + 1,25 cdot j 25p - j1,25 cdot 1 - j1,25 cdot j 25p
Como $ j^2 = -1 $:
= 1,25 + j 31,25p - j1,25 - j^2 31,25p

Passo 8

Para que a parte imaginária seja zero (já que $ H_{o} $ é um ganho real), devemos ter:
Ho
31,25p - 1,25 = 0
31,25p = 1,25

Passo 9

Agora, substituindo $ p = 25 $ na expressão de $ H_{o} $:
p = 25

Resposta

O ganho $ H_{o} $ do circuito é $ 2,5 $.

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