Entregar: Obtenha o esboço dos gráficos das seguintes funções: ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar o gráfico da função . Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais, como domínio, interceptos, assíntotas e comportamento da função em diferentes regiões. Vamos passo a passo para não ficar complicado!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de que deixam a função definida. Como temos uma fração, o denominador não pode ser zero. Então:
Então, o domínio é todos os números reais, exceto e .

Passo 3

Agora, vamos achar os interceptos.
  • Intercepto com o eixo y: É quando .
Então, o intercepto com o eixo y é .
  • Interceptos com o eixo x: É quando .
Para uma fração ser zero, o numerador deve ser zero e o denominador diferente de zero.
Não há solução real para essa equação, então não há interceptos com o eixo x.

Passo 4

Vamos determinar as assíntotas.
  • Assíntotas verticais: Ocorrem onde o denominador é zero.
Já vimos que e fazem o denominador zero, então temos assíntotas verticais em e .
  • Assíntota horizontal: Observamos o comportamento da função quando tende ao infinito.
Os termos de maior grau no numerador e denominador são . Então:
Então, a assíntota horizontal é .

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função em torno das assíntotas e no infinito.
  • Para próximo de 1:
    • Se se aproxima de 1 pela direita, o denominador fica positivo pequeno, então tende a .
    • Se se aproxima de 1 pela esquerda, o denominador fica negativo pequeno, então tende a .
  • Para próximo de -1:
    • Se se aproxima de -1 pela direita, o denominador fica negativo pequeno, então tende a .
    • Se se aproxima de -1 pela esquerda, o denominador fica positivo pequeno, então tende a .
  • Para tendendo a ou :
    • A função se aproxima da assíntota horizontal .

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • A função tem duas assíntotas verticais em e .
  • Tem uma assíntota horizontal em .
  • Passa pelo ponto .
  • Não cruza o eixo x.
  • Nos intervalos determinados pelas assíntotas verticais, o comportamento da função segue o que analisamos no passo anterior.

Resposta

O esboço do gráfico da função possui:
  • Assíntotas verticais em e .
  • Assíntota horizontal em .
  • Intercepto com o eixo y em .
  • A função não intercepta o eixo x.
  • Comportamento assintótico conforme detalhado nos passos acima.

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