Entregar: Obtenha o esboço dos gráficos das seguintes funções:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar o gráfico da função
. Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais, como domínio, interceptos, assíntotas e comportamento da função em diferentes regiões. Vamos passo a passo para não ficar complicado!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
que deixam a função definida. Como temos uma fração, o denominador não pode ser zero. Então:
Então, o domínio é todos os números reais, exceto
e
.
Passo 3
Agora, vamos achar os interceptos.
- Intercepto com o eixo y: É quando
.
Então, o intercepto com o eixo y é
.
- Interceptos com o eixo x: É quando
.
Para uma fração ser zero, o numerador deve ser zero e o denominador diferente de zero.
Não há solução real para essa equação, então não há interceptos com o eixo x.
Passo 4
Vamos determinar as assíntotas.
- Assíntotas verticais: Ocorrem onde o denominador é zero.
Já vimos que
e
fazem o denominador zero, então temos assíntotas verticais em
e
.
- Assíntota horizontal: Observamos o comportamento da função quando
tende ao infinito.
Os termos de maior grau no numerador e denominador são
. Então:
Então, a assíntota horizontal é
.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função em torno das assíntotas e no infinito.
-
Para
próximo de 1: - Se
se aproxima de 1 pela direita, o denominador fica positivo pequeno, então tende a . - Se
se aproxima de 1 pela esquerda, o denominador fica negativo pequeno, então tende a .
- Se
-
Para
próximo de -1: - Se
se aproxima de -1 pela direita, o denominador fica negativo pequeno, então tende a . - Se
se aproxima de -1 pela esquerda, o denominador fica positivo pequeno, então tende a .
- Se
-
Para
tendendo a ou : - A função se aproxima da assíntota horizontal
.
- A função se aproxima da assíntota horizontal
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- A função tem duas assíntotas verticais em
e . - Tem uma assíntota horizontal em
. - Passa pelo ponto
. - Não cruza o eixo x.
- Nos intervalos determinados pelas assíntotas verticais, o comportamento da função segue o que analisamos no passo anterior.
Resposta
O esboço do gráfico da função
possui:
- Assíntotas verticais em
e . - Assíntota horizontal em
. - Intercepto com o eixo y em
. - A função não intercepta o eixo x.
- Comportamento assintótico conforme detalhado nos passos acima.
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edição: Exercícios 4.1:
Mostre que, seja
é uma função continua em
e derivável em
, se
para todo
, então
é constante.
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