Entregar: Obtenha o esboço dos gráficos das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente fazer o esboço do gráfico da função
no intervalo de
a
. Vamos usar conhecimentos de funções trigonométricas e suas propriedades para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Aqui, temos uma função que combina seno e cosseno. Para entender o comportamento do gráfico, é importante identificar os pontos onde a função pode ter descontinuidades ou valores extremos.
Passo 3
Vamos verificar se há algum valor de
que torne o denominador zero, ou seja, resolver
. Sabemos que
varia entre -1 e 1, então:
Isso significa que o denominador nunca é zero nesse intervalo, então a função está definida para todo
entre
e
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos onde a função cruza o eixo
, ou seja, onde
. Isso acontece quando o numerador é zero:
Sabemos que
para
. Portanto, a função passa pelo ponto (0, 0),
e
.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função nos pontos críticos, onde a derivada é zero. Para isso, vamos derivar
:
Simplificando:
Usando a identidade
:
Para encontrar os extremos, igualamos a derivada a zero:
Isso ocorre em
.
Passo 6
Vamos calcular os valores de
nesses pontos críticos:
Para :
Para
Para
:
Esses são os valores máximos e mínimos da função no intervalo considerado.
Passo 7
Vamos agora analisar o comportamento da função nos extremos do intervalo:
Para :
Para
Para
:
Portanto, a função começa e termina em zero no intervalo
.
Passo 8
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- A função passa por (0, 0),
, e . - Tem um ponto máximo em
e um ponto mínimo em . - A função é contínua e suave no intervalo, sem descontinuidades.
Resposta
O esboço do gráfico da função
no intervalo de
a
apresenta zeros em
, um ponto máximo em
e um ponto mínimo em
, formando uma curva contínua e suave entre esses pontos.