Mostre que, seja
é uma função continua em
e derivável em
, se
para todo
, então
é constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma função
que é contínua no intervalo
e derivável em
. Queremos mostrar que se a derivada de
é zero em todo ponto dentro de
, então
é constante nesse intervalo.
Aqui, vamos mexer com conceitos de Cálculo Diferencial, especialmente com derivadas e o Teorema do Valor Médio. Vamos precisar entender o que significa uma função ter derivada zero e como isso afeta o comportamento da função no intervalo.
Passo 2
Primeiro, lembra do Teorema do Valor Médio? Ele diz que se uma função é contínua em
e derivável em
, então existe pelo menos um ponto
em
onde:
Esse teorema relaciona a derivada da função com a variação média da função no intervalo.
Passo 3
Agora, no nosso caso, sabemos que toda derivada
para todo
em
. Vamos usar isso no Teorema do Valor Médio.
Substituindo
na equação do teorema, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
:
Passo 5
Isso quer dizer que o valor da função em
é igual ao valor em
. Mas como isso vale para qualquer intervalo
, isso implica que a função não muda de valor em todo o domínio considerado. Ou seja,
é constante.
Resposta
Portanto, se uma função
é contínua em
, derivável em
e tem derivada zero em todo ponto de
, então
é constante no intervalo
.
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;
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