Mostre que, seja é uma função continua em e derivável em , se para todo , então é constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma função que é contínua no intervalo e derivável em . Queremos mostrar que se a derivada de é zero em todo ponto dentro de , então é constante nesse intervalo.
Aqui, vamos mexer com conceitos de Cálculo Diferencial, especialmente com derivadas e o Teorema do Valor Médio. Vamos precisar entender o que significa uma função ter derivada zero e como isso afeta o comportamento da função no intervalo.

Passo 2

Primeiro, lembra do Teorema do Valor Médio? Ele diz que se uma função é contínua em e derivável em , então existe pelo menos um ponto em onde:
Esse teorema relaciona a derivada da função com a variação média da função no intervalo.

Passo 3

Agora, no nosso caso, sabemos que toda derivada para todo em . Vamos usar isso no Teorema do Valor Médio.
Substituindo na equação do teorema, temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar :

Passo 5

Isso quer dizer que o valor da função em é igual ao valor em . Mas como isso vale para qualquer intervalo , isso implica que a função não muda de valor em todo o domínio considerado. Ou seja, é constante.

Resposta

Portanto, se uma função é contínua em , derivável em e tem derivada zero em todo ponto de , então é constante no intervalo .

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