Usando a definição da derivada de uma função num ponto, encontre para a função .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a derivada da função no ponto usando a definição de derivada. Isso envolve cálculo de limites e entender como a derivada representa a taxa de variação da função naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da derivada de uma função no ponto . A derivada é dada por:
Isso basicamente nos diz como a função está mudando em torno do ponto .

Passo 3

No nosso caso, e queremos encontrar . Então, substituímos na definição:

Passo 4

Vamos calcular . Substituindo por na função:
Expandindo isso:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular :

Passo 6

Substituindo e na definição da derivada:
Simplificando a fração dividindo cada termo por :

Passo 7

Agora, basta calcular o limite quando tende a 0:

Resposta

A derivada de no ponto é .

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Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de , nos seguintes pontos:
Usando a definição de derivada de uma função, encontre para .
James Stewart edição: Exercícios 3.4:
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