ENUNCIADO:
Um empréstimo deve ser pago sem entrada, em doze prestações mensais de R , após as quais haverá mais doze prestações mensais de , após as quais haverá mais doze prestações mensais de . Considerando a taxa mensal de juros igual a 1,9000%, obtenha o valor de cada prestação em um plano equivalente a esse, com 24 pagamentos mensais iguais, inclusive uma entrada. Ou seja: um pagamento de entrada e mais 23 pagamentos mensais, todos iguais.
DADO: X (R$)
RESPOSTA (R$):

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um empréstimo que precisa ser pago em duas fases: primeiro, 12 prestações de R$700,00 cada, e depois mais 12 prestações de um valor desconhecido, que vamos chamar de X. A taxa de juros mensal é de 1,9%. Nosso objetivo é transformar esse plano em outro onde a gente faz 24 pagamentos iguais, incluindo uma entrada e mais 23 parcelas mensais. Para isso, vamos precisar usar conceitos de matemática financeira, como o Valor Presente e Anuidades. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Valor Presente. Basicamente, é quanto vale hoje uma série de pagamentos futuros, levando em conta os juros. Isso nos ajuda a comparar diferentes planos de pagamento.

Passo 3

Vamos calcular o Valor Presente das primeiras 12 prestações de R$700,00 cada. Para isso, usamos a fórmula da Anuidade Ordinária:
700,00 cada Para isso, usamos a fórmula da **Anuidade Ordinária**:
Onde:
  • $ R = 700 $ (valor da parcela)
  • $ i = 0,019 $ (taxa de juros mensal)
  • $ n = 12 $ (número de parcelas)
Substituindo:
PV1 = R times 1 - (1 + i)^-ni

Passo 4

Calculando:
1 + 0,019 = 1,019
1,019^-12 approx 0,789
1 - 0,789 = 0,211
PV1 = 700 times 0,2110,019 approx 700 times 11,105 = 7.773,50
Então, o Valor Presente das primeiras 12 parcelas é de aproximadamente R$7.773,50.

Passo 5

Agora, vamos calcular o Valor Presente das próximas 12 parcelas de X. Como essas parcelas começam somente após 12 meses, precisamos descontar esse Valor Presente para o tempo atual (hoje).
Primeiro, usamos a mesma fórmula da Anuidade:
PV2 = X times 1 - (1 + i)^-ni
PV2 = X times 1 - (1 + 0,019)^-120,019 approx X times 11,105
Mas como esse pagamento começa depois de 12 meses, precisamos trazer esse valor para o presente usando a fórmula de desconto:
PV2,(hoje) = PV2 div (1 + i)^12 approx X times 11,105 div 1,019^12 approx X times 11,105 div 1,243 approx X times 8,930

Passo 6

Agora, somamos os Valores Presentes das duas séries de pagamentos para obter o Valor Presente total do empréstimo original:
PVtotal = PV1 + PV2,(hoje) = 7.773,50 + 8,930X

Passo 7

Vamos agora montar o plano equivalente com 24 pagamentos iguais: uma entrada § e 23 parcelas mensais iguais (PM). A gente precisa que o Valor Presente desse novo plano seja igual ao Valor Presente do plano original.
Calculando o Valor Presente do novo plano:
PVnovo = P + PM times 1 - (1 + i)^-23i

Passo 8

Como queremos um único pagamento de entrada e 23 parcelas iguais, podemos considerar que a entrada P será igual à primeira parcela do antigo plano, ou seja, R$700,00. Assim:
700,00 Assim:
Então, o Valor Presente do novo plano fica:
P = 700
Calculando a parte da anuidade:
Então, o Valor Presente do novo plano fica:
PVnovo = 700 + PM times 1 - (1 + 0,019)^-230,019
Calculando a parte da anuidade:
1,019^-23 approx 0,649

Passo 9

Agora, igualamos os Valores Presentes:
PVtotal = PVnovo
7.773,50 + 8,930X = 700 + 18,47PM
Mas como queremos que o novo plano seja equivalente ao original, precisamos encontrar o valor de PM que mantém o equilíbrio. Para isso, podemos resolver para PM:
18,47PM = 7.773,50 + 8,930X - 700
18,47PM = 7.073,50 + 8,930X
PM = 7.073,50 + 8,930X18,47

Passo 10

Agora, substituímos o valor de X para encontrar PM. Infelizmente, o enunciado não fornece o valor de X, então precisamos de mais informações ou de uma relação adicional para resolver completamente. Porém, se assumirmos que X é constante ou relacionável com as parcelas anteriores, poderíamos avançar. Mas, com os dados dados, esta é a forma como a gente estrutura a solução.

Resposta

Com base nos cálculos, o valor de cada prestação no plano equivalente com 24 pagamentos iguais é dado por:
PM = 7.073,50 + 8,930X18,47
Ou seja, para encontrar o valor exato de PM, precisamos do valor de X.

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