ENUNCIADO:
Um empréstimo deve ser pago sem entrada, em doze prestações mensais de
, após as quais haverá mais doze prestações mensais de
. Considerando a taxa mensal de juros igual a 1,9000%, obtenha o valor de cada prestação em um plano equivalente a esse, com 24 pagamentos mensais iguais, inclusive uma entrada. Ou seja: um pagamento de entrada e mais 23 pagamentos mensais, todos iguais.
DADO: X (R$)
RESPOSTA (R$):
Um empréstimo deve ser pago sem entrada, em doze prestações mensais de
DADO: X (R$)
RESPOSTA (R$):
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um empréstimo que precisa ser pago em duas fases: primeiro, 12 prestações de R$700,00 cada, e depois mais 12 prestações de um valor desconhecido, que vamos chamar de X. A taxa de juros mensal é de 1,9%. Nosso objetivo é transformar esse plano em outro onde a gente faz 24 pagamentos iguais, incluindo uma entrada e mais 23 parcelas mensais. Para isso, vamos precisar usar conceitos de matemática financeira, como o Valor Presente e Anuidades. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Valor Presente. Basicamente, é quanto vale hoje uma série de pagamentos futuros, levando em conta os juros. Isso nos ajuda a comparar diferentes planos de pagamento.
Passo 3
Vamos calcular o Valor Presente das primeiras 12 prestações de R$700,00 cada. Para isso, usamos a fórmula da Anuidade Ordinária:
Onde:
- $ R = 700 $ (valor da parcela)
- $ i = 0,019 $ (taxa de juros mensal)
- $ n = 12 $ (número de parcelas)
Substituindo:
Passo 4
Calculando:
Então, o Valor Presente das primeiras 12 parcelas é de aproximadamente R$7.773,50.
Passo 5
Agora, vamos calcular o Valor Presente das próximas 12 parcelas de X. Como essas parcelas começam somente após 12 meses, precisamos descontar esse Valor Presente para o tempo atual (hoje).
Primeiro, usamos a mesma fórmula da Anuidade:
Mas como esse pagamento começa depois de 12 meses, precisamos trazer esse valor para o presente usando a fórmula de desconto:
Passo 6
Agora, somamos os Valores Presentes das duas séries de pagamentos para obter o Valor Presente total do empréstimo original:
Passo 7
Vamos agora montar o plano equivalente com 24 pagamentos iguais: uma entrada § e 23 parcelas mensais iguais (PM). A gente precisa que o Valor Presente desse novo plano seja igual ao Valor Presente do plano original.
Calculando o Valor Presente do novo plano:
Passo 8
Como queremos um único pagamento de entrada e 23 parcelas iguais, podemos considerar que a entrada P será igual à primeira parcela do antigo plano, ou seja, R$700,00. Assim:
Então, o Valor Presente do novo plano fica:
Calculando a parte da anuidade:
Passo 9
Agora, igualamos os Valores Presentes:
Mas como queremos que o novo plano seja equivalente ao original, precisamos encontrar o valor de PM que mantém o equilíbrio. Para isso, podemos resolver para PM:
Passo 10
Agora, substituímos o valor de X para encontrar PM. Infelizmente, o enunciado não fornece o valor de X, então precisamos de mais informações ou de uma relação adicional para resolver completamente. Porém, se assumirmos que X é constante ou relacionável com as parcelas anteriores, poderíamos avançar. Mas, com os dados dados, esta é a forma como a gente estrutura a solução.
Resposta
Com base nos cálculos, o valor de cada prestação no plano equivalente com 24 pagamentos iguais é dado por:
Ou seja, para encontrar o valor exato de PM, precisamos do valor de X.