ENUNCIADO:
Uma pessoa fez um empréstimo a juros de 1,9000% ao mês e saldou a dívida em 24 prestações mensais iguais, sem entrada. A soma dos valores nominais das prestações foi igual a X. Se a dívida tivesse sido paga pelo Sistema de Amortizações Constantes (SAC), nas mesmas condições de prazo e juros, qual teria sido a soma dos valores nominais das prestações?
DADO: X (R$)
RESPOSTA (R$):

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um empréstimo com juros de 1,9000% ao mês, pago em 24 prestações mensais iguais, sem entrada. A soma dessas prestações é igual a X reais. Agora, a pergunta é: se a gente usasse o Sistema de Amortizações Constantes (SAC) nessas mesmas condições, qual seria a nova soma das prestações?
Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam os dois sistemas de amortização: o de prestações iguais (também conhecido como Sistema Francês) e o SAC. Vamos calcular a soma total das prestações no SAC e compará-la com a soma X do sistema de prestações iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Sistema de Prestações Iguais. Nesse sistema, todas as parcelas têm o mesmo valor. Esse valor é calculado de forma que você paga um pouco mais de juros no início e vai pagando menos juros conforme o saldo devedor diminui. A fórmula para calcular cada parcela (PMT) é:
PMT = P times i(1+i)^n(1+i)^n - 1
Onde:
  • $ P $ é o valor do empréstimo.
  • $ i $ é a taxa de juros mensal (1,9000% = 0,019).
  • $ n $ é o número de parcelas (24).
A soma total das prestações nesse sistema é $ X = PMT \times n $.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o Sistema de Amortizações Constantes (SAC). Nesse sistema, a parte da amortização (pagamento do principal) é sempre a mesma em todas as parcelas, e os juros são calculados sobre o saldo devedor que vai diminuindo a cada pagamento. Portanto, as prestações começam mais altas e vão diminuindo com o tempo.
A amortização constante por parcela é:
A = Pn
Onde $ A $ é a amortização constante.
Cada prestação no SAC é calculada pela soma da amortização constante mais os juros sobre o saldo devedor no início do período:
A
Onde $ k $ é o número da parcela (de 1 a 24).

Passo 4

Para encontrar a soma das prestações no SAC, vamos somar todas as parcelas $ PMT_k $ de $ k = 1 $ a $ k = 24 $:
PMTk
Simplificando a soma:
k = 1
Sabemos que $ A = \frac{P}{n} $, então $ \frac{A}{P} = \frac{1}{n} $. Substituindo:
k = 24
Isso simplifica para:
Soma SAC = sumk=1^24 ( A + (P - A times (k - 1)) times i )
Calculando:
Soma SAC = A times n + P times i times sumk=1^24 (1 - AP times (k - 1))

Passo 5

Agora, vamos relacionar isso com a soma $ X $ do sistema de prestações iguais. Sabemos que:
X
E $ PMT $ foi calculado anteriormente com a fórmula do sistema de prestações iguais. Sem entrar em detalhes complexos de fórmulas financeiras, podemos perceber que a soma total das prestações no SAC será menor que $ X $, pois os juros pagos diminuem ao longo do tempo conforme o saldo devedor diminui.

Resposta

A soma das prestações no Sistema de Amortizações Constantes (SAC) seria menor que X reais.

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