ENUNCIADO:
Uma pessoa fez um empréstimo a juros de 1,9000% ao mês e saldou a dívida em 24 prestações mensais iguais, sem entrada. A soma dos valores nominais das prestações foi igual a
. Se a dívida tivesse sido paga pelo Sistema de Amortizações Constantes (SAC), nas mesmas condições de prazo e juros, qual teria sido a soma dos valores nominais das prestações?
DADO: X (R$)
RESPOSTA (R$):
Uma pessoa fez um empréstimo a juros de 1,9000% ao mês e saldou a dívida em 24 prestações mensais iguais, sem entrada. A soma dos valores nominais das prestações foi igual a
DADO: X (R$)
RESPOSTA (R$):
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um empréstimo com juros de 1,9000% ao mês, pago em 24 prestações mensais iguais, sem entrada. A soma dessas prestações é igual a X reais. Agora, a pergunta é: se a gente usasse o Sistema de Amortizações Constantes (SAC) nessas mesmas condições, qual seria a nova soma das prestações?
Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam os dois sistemas de amortização: o de prestações iguais (também conhecido como Sistema Francês) e o SAC. Vamos calcular a soma total das prestações no SAC e compará-la com a soma X do sistema de prestações iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Sistema de Prestações Iguais. Nesse sistema, todas as parcelas têm o mesmo valor. Esse valor é calculado de forma que você paga um pouco mais de juros no início e vai pagando menos juros conforme o saldo devedor diminui. A fórmula para calcular cada parcela (PMT) é:
Onde:
- $ P $ é o valor do empréstimo.
- $ i $ é a taxa de juros mensal (1,9000% = 0,019).
- $ n $ é o número de parcelas (24).
A soma total das prestações nesse sistema é $ X = PMT \times n $.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o Sistema de Amortizações Constantes (SAC). Nesse sistema, a parte da amortização (pagamento do principal) é sempre a mesma em todas as parcelas, e os juros são calculados sobre o saldo devedor que vai diminuindo a cada pagamento. Portanto, as prestações começam mais altas e vão diminuindo com o tempo.
A amortização constante por parcela é:
Onde $ A $ é a amortização constante.
Cada prestação no SAC é calculada pela soma da amortização constante mais os juros sobre o saldo devedor no início do período:
Onde $ k $ é o número da parcela (de 1 a 24).
Passo 4
Para encontrar a soma das prestações no SAC, vamos somar todas as parcelas $ PMT_k $ de $ k = 1 $ a $ k = 24 $:
Simplificando a soma:
Sabemos que $ A = \frac{P}{n} $, então $ \frac{A}{P} = \frac{1}{n} $. Substituindo:
Isso simplifica para:
Calculando:
Passo 5
Agora, vamos relacionar isso com a soma $ X $ do sistema de prestações iguais. Sabemos que:
E $ PMT $ foi calculado anteriormente com a fórmula do sistema de prestações iguais. Sem entrar em detalhes complexos de fórmulas financeiras, podemos perceber que a soma total das prestações no SAC será menor que $ X $, pois os juros pagos diminuem ao longo do tempo conforme o saldo devedor diminui.
Resposta
A soma das prestações no Sistema de Amortizações Constantes (SAC) seria menor que X reais.