Enuncie os testes e prove que as seguintes séries convergem: (Teste da comparação direta)

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para mostrar que a série converge usando o Teste da Comparação Direta. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e comparar essa série com outra que a gente já sabe se ela converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Comparação Direta. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série comparando-a com outra série que conhecemos. Se todos os termos da primeira série forem menores ou iguais aos termos de uma série convergente, então a primeira série também converge.

Passo 3

Vamos analisar a série . Notamos que é sempre maior que para todo . Portanto, é menor que .

Passo 4

Agora, comparamos com . Sabemos que a série é uma série p com . Como , essa série converge.

Passo 5

Aplicando o Teste da Comparação Direta, já que e converge, concluímos que a série também converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Comparação Direta.

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