Enuncie os testes e prove que as seguintes séries convergem:
(Teste da comparação direta)
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para mostrar que a série
converge usando o Teste da Comparação Direta. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e comparar essa série com outra que a gente já sabe se ela converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Comparação Direta. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série comparando-a com outra série que conhecemos. Se todos os termos da primeira série forem menores ou iguais aos termos de uma série convergente, então a primeira série também converge.
Passo 3
Vamos analisar a série
. Notamos que
é sempre maior que
para todo
. Portanto,
é menor que
.
Passo 4
Agora, comparamos
com
. Sabemos que a série
é uma série p com
. Como
, essa série converge.
Passo 5
Aplicando o Teste da Comparação Direta, já que
e
converge, concluímos que a série
também converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Comparação Direta.