use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo , das áreas limitadas pelas curvas e retas a seguir.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o volume de um sólido gerado pela rotação em torno do eixo das áreas limitadas pelas curvas , , e . Para resolver isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas. Esse método é útil quando você está girando uma região em torno de um eixo e facilita o cálculo de volumes envolvendo integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. As curvas e linhas dadas delimitam uma área entre (eixo ), , (eixo ) e . Essa região vai ser girada em torno do eixo .

Passo 3

No método das cascas, consideramos “cascas” verticais infinitesimais. Para cada valor de entre 0 e 1, a casca terá:
  • Altura: a distância entre e , que é .
  • Circunferência: a distância em torno do eixo é a “altura” da casca, que é .
  • Espessura: um pequeno incremento em , que chamamos de .

Passo 4

A fórmula para o volume de uma casca cilíndrica é:
Aqui:
  • Raio =
  • Altura =
  • Espessura =
Então,

Passo 5

Para encontrar o volume total, integramos de até :

Passo 6

Vamos resolver a integral. Observamos que sugere uma substituição. Vamos usar:
Isso simplifica a integral:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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