use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo
, das áreas limitadas pelas curvas e retas a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o volume de um sólido gerado pela rotação em torno do eixo
das áreas limitadas pelas curvas
,
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas. Esse método é útil quando você está girando uma região em torno de um eixo e facilita o cálculo de volumes envolvendo integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. As curvas e linhas dadas delimitam uma área entre
(eixo
),
,
(eixo
) e
. Essa região vai ser girada em torno do eixo
.
Passo 3
No método das cascas, consideramos “cascas” verticais infinitesimais. Para cada valor de
entre 0 e 1, a casca terá:
- Altura: a distância entre
e , que é . - Circunferência: a distância em torno do eixo
é a “altura” da casca, que é . - Espessura: um pequeno incremento em
, que chamamos de .
Passo 4
A fórmula para o volume de uma casca cilíndrica é:
Aqui:
- Raio =
- Altura =
- Espessura =
Então,
Passo 5
Para encontrar o volume total, integramos
de
até
:
Passo 6
Vamos resolver a integral. Observamos que
sugere uma substituição. Vamos usar:
Isso simplifica a integral:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Enuncie os testes e prove que as seguintes séries convergem:
(Teste da comparação direta)
O que nos diz o teste da primeira derivada? e qual a importância da sua utilização?
A região entre as curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante:
; em torno do eixo x
Faça um resumo dos passos para construção do gráfico de uma função.