A região entre as curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante: ; em torno do eixo x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas curvas: e . Queremos encontrar o volume do sólido que forma quando a região entre essas curvas é girada ao redor do eixo . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação para em termos de , para facilitar a integração. Isolando :
Isso nos dá os limites para em termos de .

Passo 3

Agora, precisamos identificar os limites de integração. A curva intersecta a hipérbole . Vamos encontrar os pontos de interseção substituindo na equação da hipérbole:
Portanto, varia de a .

Passo 4

Para calcular o volume usando o método dos anéis, a fórmula é:
Onde:
  • é o raio externo.
  • é o raio interno.
  • e são os limites de integração.

Passo 5

No nosso caso, o sólido é gerado pela rotação ao redor do eixo , então vamos reescrever as funções em termos de :
  • A hipérbole já está em termos de :
  • A linha é uma constante.
Como estamos girando em torno do eixo , o raio externo será a distância do eixo até a linha , que é simplesmente . O raio interno será a distância do eixo até a hipérbole, que é .

Passo 6

Agora, definimos os limites de integração. Como varia da hipérbole até a linha , os limites vão de até . Porém, para simplificar, podemos integrar em relação a , de até , já que .

Passo 7

Substituindo na fórmula do volume:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral:
Avaliação nos limites de a :

Resposta

O volume do sólido resultante é unidades cúbicas.

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