A região entre as curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante:
; em torno do eixo x
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas curvas:
e
. Queremos encontrar o volume do sólido que forma quando a região entre essas curvas é girada ao redor do eixo
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação
para
em termos de
, para facilitar a integração. Isolando
:
Isso nos dá os limites para
em termos de
.
Passo 3
Agora, precisamos identificar os limites de integração. A curva
intersecta a hipérbole
. Vamos encontrar os pontos de interseção substituindo
na equação da hipérbole:
Portanto,
varia de
a
.
Passo 4
Para calcular o volume usando o método dos anéis, a fórmula é:
Onde:
-
é o raio externo. -
é o raio interno. -
e são os limites de integração.
Passo 5
No nosso caso, o sólido é gerado pela rotação ao redor do eixo
, então vamos reescrever as funções em termos de
:
- A hipérbole já está em termos de
: - A linha
é uma constante.
Como estamos girando em torno do eixo
, o raio externo
será a distância do eixo
até a linha
, que é simplesmente
. O raio interno
será a distância do eixo
até a hipérbole, que é
.
Passo 6
Agora, definimos os limites de integração. Como
varia da hipérbole até a linha
, os limites vão de
até
. Porém, para simplificar, podemos integrar em relação a
, de
até
, já que
.
Passo 7
Substituindo na fórmula do volume:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos calcular a integral:
Avaliação nos limites de
a
:
Resposta
O volume do sólido resultante é
unidades cúbicas.
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