A Eq. 2.2 é baseada na suposiçăo de que a capacidade calorifica é independente da temperatura. Admita agora que a capacidade calorifica tenha uma dependência com a temperatura dada por . Encontre uma expressão para a variação de entropia no aquecimento de até (Sugestão: veja a Deduçōo 2.1.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a equação 2.2 assume que a capacidade calorífica ( ) não depende da temperatura. Agora, temos que considerar que varia com a temperatura de acordo com . Nosso objetivo é encontrar a variação de entropia ( ) quando a temperatura aumenta de até . Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica relacionados à entropia e à capacidade calorífica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a variação de entropia ( ) quando um sistema é aquecido de uma temperatura até é dada pela integral da capacidade calorífica sobre a temperatura:
Como a capacidade calorífica depende da temperatura, precisamos substituir a expressão dada para na integral.

Passo 3

Substituindo na integral, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral dividindo cada termo por :

Passo 4

Agora, vamos integrar termo a termo:
  1. Para , a integral é .
  2. Para , a integral é .
  3. Para , a integral é .
Assim, a expressão para fica:

Passo 5

Finalmente, aplicamos os limites de integração substituindo por e :

Resposta

A variação de entropia no aquecimento de até é:

Exercícios relacionados

As expressoes a seguir foram usadas para estabelecer os critérios para uma transformaçăo espontânea: . Discuta a origem, o significado e a aplicabilidade de cada critério.
Sempre que um gás se expande - quando exalamos, quando um frasco é aberto e assim por diante - o gás sofre um aumento de entropia. Reciprocamente, quando um gás se contrai, a sua entropia diminui. (a) Mostre que a variação de entropia devida a expansão ou contração isotérmica reversível de um gás perfeito é , sendo os volumes inicial e final, respectivamente. (b) Calcule a variaçâo de entropia molar quando dióxido de carbono se expande isotermicamente de 1,5 L até . © Uma amostra de dióxido de carbono, que inicialmente ocupa e , é isotermicamente comprimida. Para que volume o gás deve ser comprimido para reduzir sua entropia a ?
Calcule a variação de entropia de 100 g de gelo a quando ele é fundido, aquecido a , e depois vaporizado a essa temperatura. Admita que as variaçőes sāo provocadas por um aquecedor que fornece energia a uma taxa constante, e esboce um gráfico que mostre (a) a variação da temperatura do sistema, (b) a entalpia do sistema, © a entropia do sistema como função do tempo.
Calcule a entropia padrảo de reação a 298 K para a fermentação da glicose em etanol: