A equação abaixo corresponde aos pontos de retorno da energia potencial efetiva para os corpos celestes.
Mostre que a raiz da equação é sempre positiva mesmo para os valores negativos permitidos de
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma equação que relaciona a energia potencial efetiva de corpos celestes. O objetivo é mostrar que a raiz dessa equação é sempre positiva, mesmo quando o valor de $ E $ é negativo dentro dos permitidos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações quadráticas e propriedades das raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação dada:
Aqui, $ r $ representa a distância, $ m $ a massa, $ K $ uma constante, $ L $ o momento angular, e $ E $ a energia. Nosso objetivo é mostrar que $ r $ é sempre positivo.
Passo 3
Para simplificar, vamos chamar $ A = \frac{m K}{L^{2}} $ e $ B = \frac{2 E L^{2}}{m K^{2}} $. Substituindo esses na equação, temos:
Agora, note que $ A $ é positivo porque é uma quantidade que envolve massa e outras constantes positivas.
Passo 4
Vamos analisar a expressão sob a raiz:
Como queremos que a raiz seja real, é necessário que $ 1 + B \geq 0 $. Isso implica que $ E \geq -\frac{m K^{2}}{2 L^{2}} $. Assim, mesmo quando $ E $ é negativo, ele não pode ser tão negativo a ponto de tornar $ 1 + B $ negativo.
Passo 5
Agora, voltando à equação:
Como $ A $ é positivo e $ \sqrt{1 + B} $ é real e positivo, ambas as partes da soma e subtração também são positivas ou zero. Portanto, $ \frac{1}{r} $ é positivo, o que significa que $ r $ também é positivo.
Resposta
Concluímos que a raiz da equação é sempre positiva, mesmo para valores negativos permitidos de $ E $.