Uma partícula se move no interior de um tubo retilíneo sem atrito, que está deitado sobre uma mesa horizontal. O tubo gira com velocidade angular constante,
, em torno do eixo vertical que passa por uma das extremidades do tubo. Mostre que a distância da partícula ao cixo é dada por
, onde
e
são constantes que dependem das condiçōes iniciais.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula se movendo dentro de um tubo reto e sem atrito, que está sobre uma mesa horizontal. Esse tubo está girando com uma velocidade angular constante,
, ao redor de um eixo vertical que passa por uma das extremidades do tubo. Precisamos mostrar que a distância da partícula ao eixo é dada por:
onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais. Para resolver esse problema, vamos usar conceitos de cinemática rotacional e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar uma imagem mental: imagine o tubo girando em torno de um eixo vertical. A partícula dentro do tubo pode se mover para mais perto ou mais longe do eixo enquanto o tubo gira. Nossa meta é encontrar uma expressão matemática que descreva essa distância
ao longo do tempo
.
Passo 3
Vamos começar aplicando a segunda lei de Newton no sistema. Como estamos lidando com movimento rotacional, usamos a forma rotacional da segunda lei:
onde
é a força resultante,
é a massa da partícula e
é a aceleração. No nosso caso, a aceleração está relacionada à mudança na distância
da partícula ao eixo de rotação.
Passo 4
No referencial do tubo que está girando, temos duas forças fictícias agindo na partícula:
- Força centrífuga: Esta força age para empurrar a partícula para fora, afastando-a do eixo de rotação.
- Força de Coriolis: Esta força age perpendicularmente à velocidade da partícula e ao eixo de rotação.
Como o tubo é sem atrito e retilíneo, a única força que realmente afeta o movimento da partícula ao longo do tubo é a força centrífuga.
Passo 5
A força centrífuga pode ser expressa como:
onde
é a velocidade angular constante do tubo e
é a distância da partícula ao eixo.
Passo 6
Agora, aplicando a segunda lei de Newton na direção radial, temos:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, buscamos soluções da forma:
onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 8
Substituindo
na equação diferencial:
Calculando as derivadas:
Cancelando
(que nunca é zero):
Passo 9
Resolvendo para
:
Essas são as raízes da equação característica.
Passo 10
Portanto, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear das soluções encontradas:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais do problema.
Resposta
A distância da partícula em relação ao eixo de rotação é dada por:
onde
e
são constantes definidas pelas condições iniciais do sistema.