Uma partícula se move no interior de um tubo retilíneo sem atrito, que está deitado sobre uma mesa horizontal. O tubo gira com velocidade angular constante, omega, em torno do eixo vertical que passa por uma das extremidades do tubo. Mostre que a distância da partícula ao cixo é dada por r=A e^omega t+B e^-omega t, onde A e B são constantes que dependem das condiçōes iniciais.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula se movendo dentro de um tubo reto e sem atrito, que está sobre uma mesa horizontal. Esse tubo está girando com uma velocidade angular constante, omega, ao redor de um eixo vertical que passa por uma das extremidades do tubo. Precisamos mostrar que a distância da partícula ao eixo é dada por:
r = A e^omega t + B e^-omega t
onde A e B são constantes que dependem das condições iniciais. Para resolver esse problema, vamos usar conceitos de cinemática rotacional e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar uma imagem mental: imagine o tubo girando em torno de um eixo vertical. A partícula dentro do tubo pode se mover para mais perto ou mais longe do eixo enquanto o tubo gira. Nossa meta é encontrar uma expressão matemática que descreva essa distância r ao longo do tempo t.

Passo 3

Vamos começar aplicando a segunda lei de Newton no sistema. Como estamos lidando com movimento rotacional, usamos a forma rotacional da segunda lei:
F = m a
onde F é a força resultante, m é a massa da partícula e a é a aceleração. No nosso caso, a aceleração está relacionada à mudança na distância r da partícula ao eixo de rotação.

Passo 4

No referencial do tubo que está girando, temos duas forças fictícias agindo na partícula:
  1. Força centrífuga: Esta força age para empurrar a partícula para fora, afastando-a do eixo de rotação.
  2. Força de Coriolis: Esta força age perpendicularmente à velocidade da partícula e ao eixo de rotação.
Como o tubo é sem atrito e retilíneo, a única força que realmente afeta o movimento da partícula ao longo do tubo é a força centrífuga.

Passo 5

A força centrífuga pode ser expressa como:
Fcentrífuga = m omega^2 r í
onde omega é a velocidade angular constante do tubo e r é a distância da partícula ao eixo.

Passo 6

Agora, aplicando a segunda lei de Newton na direção radial, temos:
m d^2 rdt^2 = m omega^2 r
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por m:
d^2 rdt^2 = omega^2 r

Passo 7

Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, buscamos soluções da forma:
r(t) = e^lambda t
onde lambda é uma constante a ser determinada.

Passo 8

Substituindo r(t) = e^lambda t na equação diferencial:
d^2dt^2 e^lambda t = omega^2 e^lambda t
Calculando as derivadas:
lambda^2 e^lambda t = omega^2 e^lambda t
Cancelando e^lambda t (que nunca é zero):
lambda^2 = omega^2

Passo 9

Resolvendo para lambda:
lambda = omega ou lambda = -omega
Essas são as raízes da equação característica.

Passo 10

Portanto, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear das soluções encontradas:
r(t) = A e^omega t + B e^-omega t
onde A e B são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais do problema.

Resposta

A distância da partícula em relação ao eixo de rotação é dada por:
r = A e^omega t + B e^-omega t
onde A e B são constantes definidas pelas condições iniciais do sistema.

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