partial Cpartial t+u partial Cpartial x+v partial Cpartial y+w partial Cpartial z=Dx partial^2 Cpartial x^2+Dy partial^2 Cpartial y^2+Dz partial^2 Cpartial z^2-R
a) Descreva, em poucas palavras, o significado de cada termo da equação.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem essa equação que envolve derivadas parciais e vários termos, e precisamos entender o que cada parte dela significa. Isso tá relacionado com equações diferenciais parciais, que são usadas pra modelar como algo muda no tempo e no espaço. Vamos precisar identificar e explicar cada termo dessa equação pra entender o que cada um representa no contexto do problema.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o lado esquerdo da equação:
partial Cpartial t
Esse termo representa a variação da concentração $ C $ ao longo do tempo. É como se estivesse medindo o quanto a concentração está aumentando ou diminuindo em um determinado momento.

Passo 3

Ainda no lado esquerdo, temos os termos:
u partial Cpartial x + v partial Cpartial y + w partial Cpartial z
Aqui, $ u $, $ v $ e $ w $ são velocidades nas direções $ x $, $ y $ e $ z $ respectivamente. Multiplicados pelas derivadas parciais de $ C $ em cada direção, esses termos descrevem o transporte da concentração $ C $ devido ao movimento do fluido. Ou seja, mostram como a concentração está sendo transportada nas diferentes direções no espaço.

Passo 4

Agora, vamos para o lado direito da equação:
Dx partial^2 Cpartial x^2 + Dy partial^2 Cpartial y^2 + Dz partial^2 Cpartial z^2
Os $ D_{x} $, $ D_{y} $ e $ D_{z} $ são coeficientes de difusão nas direções $ x $, $ y $ e $ z $. As derivadas segundas de $ C $ indicam como a concentração está se espalhando no espaço. Então, esses termos representam a difusão da concentração $ C $, ou seja, como ela está se espalhando naturalmente nas diferentes direções.

Passo 5

Por último, temos o termo:
-R
Aqui, $ R $ representa uma taxa de reação ou remoção da concentração $ C $. O sinal negativo indica que está diminuindo a concentração. Então, esse termo descreve a perda de $ C $ devido a alguma reação química ou outro processo removendo $ C $.

Resposta

Cada termo da equação representa:
  • partial Cpartial t: Variação da concentração $ C $ ao longo do tempo.
  • C , u partial Cpartial x, v partial Cpartial y: Transporte da concentração $ C $ nas direções $ x $, $ y $ e $ z $ devido ao movimento do fluido com velocidades $ u $, $ v $ e $ w $.
  • w partial Cpartial z, C , x : Difusão da concentração $ C $ nas direções $ x $, $ y $ e $ z $ com coeficientes de difusão $ D_{x} $, $ D_{y} $ e $ D_{z} $.
  • y : Perda da concentração $ C $ devido a uma reação ou processo que remove $ C $.

Exercícios relacionados

Equação de advecção e difusão:
partial Cpartial t+u partial Cpartial x+v partial Cpartial y+w partial Cpartial z=Dx partial^2 Cpartial x^2+Dy partial^2 Cpartial y^2+Dz partial^2 Cpartial z^2-R
b) Escreva a equação simplificada para uma descarga instantânea num canal estreito e raso, onde se considera somente uma velocidade constante e uniforme na direção x e gradientes de concentração somente na direção longitudinal (direção x ) por conta da mistura rápida na vertical e na horizontal. Processos de transformação ou reações podem ser desconsiderados.
Equação de advecção e difusão:
partial Cpartial t+u partial Cpartial x+v partial Cpartial y+w partial Cpartial z=Dx partial^2 Cpartial x^2+Dy partial^2 Cpartial y^2+Dz partial^2 Cpartial z^2-R
c) Escreva a solução da equação do item
Numa estação de monitoramento de qualidade de água foi medido uma concentração máxima de uma substância tóxica de 0,20 mg / l. A estação se localiza a 60 km a jusante do local de lançamento. O rio pode ser caracterizado com os seguintes parâmetros: velocidade média, U= 0,36 m / s, profundidade, h=1,1 m, largura, B=45 m. A descarga pode ser considerada com uma fonte instantânea distribuída em toda a área da seção do rio. A solução é:
C=MA raiz4 pi D t exp [-(x-U t)^24 D t]
a) Explique quais são as simplificações aplicadas na equação de advecção e difusão para gerar a equação governante que apresente a solução analítica apresentada acima
Numa estação de monitoramento de qualidade de água foi medido uma concentração máxima de uma substância tóxica de 0,20 mg / l. A estação se localiza a 60 km a jusante do local de lançamento. O rio pode ser caracterizado com os seguintes parâmetros: velocidade média, U= 0,36 m / s, profundidade, h=1,1 m, largura, B=45 m. A descarga pode ser considerada com uma fonte instantânea distribuída em toda a área da seção do rio. A solução é:
C=MA raiz4 pi D t exp [-(x-U t)^24 D t]
c) Construa um gráfico da distribuição temporal da concentração na posição da estação de monitoramento (se recomenda usar o Excel, Matlab ou Octave).