Equação de advecção e difusão:
partial Cpartial t+u partial Cpartial x+v partial Cpartial y+w partial Cpartial z=Dx partial^2 Cpartial x^2+Dy partial^2 Cpartial y^2+Dz partial^2 Cpartial z^2-R
b) Escreva a equação simplificada para uma descarga instantânea num canal estreito e raso, onde se considera somente uma velocidade constante e uniforme na direção x e gradientes de concentração somente na direção longitudinal (direção x ) por conta da mistura rápida na vertical e na horizontal. Processos de transformação ou reações podem ser desconsiderados.

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a Equação de Advecção e Difusão, que descreve como a concentração $ C $ de uma substância se move e se espalha em um fluido ao longo do tempo e do espaço. O conteúdo aqui envolve transporte de massa, especificamente advecção (movimento devido ao fluxo do fluido) e difusão (espalhamento devido a gradientes de concentração).
Para resolver essa parte da questão, vamos simplificar a equação considerando um canal estreito e raso com algumas condições específicas:
  • Velocidade constante e uniforme na direção $ x $.
  • Gradientes de concentração apenas na direção $ x $ (longitudinal), porque a mistura nas direções vertical e horizontal é rápida.
  • Vamos desconsiderar processos de transformação ou reações químicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada termo da equação original:
partial Cpartial t + u partial Cpartial x + v partial Cpartial y + w partial Cpartial z = Dx partial^2 Cpartial x^2 + Dy partial^2 Cpartial y^2 + Dz partial^2 Cpartial z^2 - R
  • partial Cpartial t: Mudança da concentração no tempo.
  • u, v, w: Componentes da velocidade do fluido nas direções $ x, y, z $.
  • x, y, z : Coeficientes de difusão nas direções $ x, y, z $.
  • Dx, Dy, Dz: Taxa de reação ou transformação.

Passo 3

Agora, vamos aplicar as simplificações dadas:
  1. Velocidade constante e uniforme na direção $ x $:
    • Isso significa que $ u $ é constante e $ v = w = 0 $ (sem movimento nas direções $ y $ e $ z $).
  2. Gradientes de concentração apenas na direção $ x $:
    • Isso implica que as derivadas de $ C $ em relação a $ y $ e $ z $ são zero, ou seja, x .
  3. Reações desconsideradas:
    • Portanto, $ R = 0 $.

Passo 4

Aplicando essas simplificações na equação original:
partial Cpartial t + u partial Cpartial x + 0 + 0 = Dx partial^2 Cpartial x^2 + 0 + 0 - 0
Simplificando:
partial Cpartial t + u partial Cpartial x = Dx partial^2 Cpartial x^2

Passo 5

Essa é a equação simplificada para o caso específico do canal estreito e raso com as condições dadas. Essencialmente, ela mostra que a mudança na concentração ao longo do tempo e na direção $ x $ é balanceada pela advecção (movimento devido ao fluxo) e pela difusão na direção $ x $.

Resposta

A equação simplificada é:
partial Cpartial t + u partial Cpartial x = Dx partial^2 Cpartial x^2

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