Equação de advecção e difusão:
b) Escreva a equação simplificada para uma descarga instantânea num canal estreito e raso, onde se considera somente uma velocidade constante e uniforme na direção x e gradientes de concentração somente na direção longitudinal (direção
) por conta da mistura rápida na vertical e na horizontal. Processos de transformação ou reações podem ser desconsiderados.
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a Equação de Advecção e Difusão, que descreve como a concentração $ C $ de uma substância se move e se espalha em um fluido ao longo do tempo e do espaço. O conteúdo aqui envolve transporte de massa, especificamente advecção (movimento devido ao fluxo do fluido) e difusão (espalhamento devido a gradientes de concentração).
Para resolver essa parte da questão, vamos simplificar a equação considerando um canal estreito e raso com algumas condições específicas:
- Velocidade constante e uniforme na direção $ x $.
- Gradientes de concentração apenas na direção $ x $ (longitudinal), porque a mistura nas direções vertical e horizontal é rápida.
- Vamos desconsiderar processos de transformação ou reações químicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada termo da equação original:
-
: Mudança da concentração no tempo. -
: Componentes da velocidade do fluido nas direções $ x, y, z $. -
: Coeficientes de difusão nas direções $ x, y, z $. -
: Taxa de reação ou transformação.
Passo 3
Agora, vamos aplicar as simplificações dadas:
-
Velocidade constante e uniforme na direção $ x $:
- Isso significa que $ u $ é constante e $ v = w = 0 $ (sem movimento nas direções $ y $ e $ z $).
-
Gradientes de concentração apenas na direção $ x $:
- Isso implica que as derivadas de $ C $ em relação a $ y $ e $ z $ são zero, ou seja,
.
- Isso implica que as derivadas de $ C $ em relação a $ y $ e $ z $ são zero, ou seja,
-
Reações desconsideradas:
- Portanto, $ R = 0 $.
Passo 4
Aplicando essas simplificações na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Essa é a equação simplificada para o caso específico do canal estreito e raso com as condições dadas. Essencialmente, ela mostra que a mudança na concentração ao longo do tempo e na direção $ x $ é balanceada pela advecção (movimento devido ao fluxo) e pela difusão na direção $ x $.
Resposta
A equação simplificada é:
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c) Escreva a solução da equação do item
Capítulo 3: Cinemática dos fluidos
Um campo de velocidade estacionário, incompressível e bidimensional é dado pelas seguintes componentes no plano :
e
Calcule o campo de aceleração (encontre expressões para os componentes da aceleração e
), e calcule a aceleração no ponto
.
Um campo de velocidade estacionário, incompressível e bidimensional é dado pelas seguintes componentes no plano
Calcule o campo de aceleração (encontre expressões para os componentes da aceleração
a) Descreva, em poucas palavras, o significado de cada termo da equação.
Numa estação de monitoramento de qualidade de água foi medido uma concentração máxima de uma substância tóxica de
. A estação se localiza a 60 km a jusante do local de lançamento. O rio pode ser caracterizado com os seguintes parâmetros: velocidade média,
, profundidade,
, largura,
. A descarga pode ser considerada com uma fonte instantânea distribuída em toda a área da seção do rio. A solução é:
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