Numa estação de monitoramento de qualidade de água foi medido uma concentração máxima de uma substância tóxica de 0,20 mg / l. A estação se localiza a 60 km a jusante do local de lançamento. O rio pode ser caracterizado com os seguintes parâmetros: velocidade média, U= 0,36 m / s, profundidade, h=1,1 m, largura, B=45 m. A descarga pode ser considerada com uma fonte instantânea distribuída em toda a área da seção do rio. A solução é:
C=MA raiz4 pi D t exp [-(x-U t)^24 D t]
a) Explique quais são as simplificações aplicadas na equação de advecção e difusão para gerar a equação governante que apresente a solução analítica apresentada acima

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre monitoramento da qualidade da água, mais especificamente sobre a concentração de uma substância tóxica no rio. O objetivo aqui é entender as simplificações que foram feitas na equação de advecção e difusão para chegar à solução analítica apresentada. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transporte de poluentes em rios, e as equações que descrevem esse processo.

Passo 2

Primeiro, vamos falar brevemente sobre a equação de advecção-difusão. Essa equação modela como um poluente se move e se espalha em um fluido, como a água de um rio. Ela leva em conta dois processos principais:
  1. Advecção: o transporte do poluente pela correnteza do rio, movendo-se na direção do fluxo.
  2. Difusão: o espalhamento do poluente devido a movimentos turbulentos e aleatórios das moléculas.
A equação geral de advecção-difusão em uma dimensão espacial é:
partial Cpartial t + U partial Cpartial x = D partial^2 Cpartial x^2
Onde:
  • $ C $ é a concentração do poluente,
  • $ U $ é a velocidade média da água,
  • $ D $ é o coeficiente de difusão,
  • $ t $ é o tempo,
  • $ x $ é a posição ao longo do rio.

Passo 3

Agora, para chegar à solução analítica que você forneceu:
C = MA raiz4 pi D t exp [-(x - U t)^24 D t]
Precisamos fazer algumas simplificações na equação original. Vamos ver quais são essas simplificações:
  1. Fonte Instantânea: Consideramos que a descarga do poluente ocorreu de forma instantânea. Isso significa que todo o poluente foi lançado de uma só vez, em um momento específico $ t = 0 $.
  2. Distribuição Inicial Uniforme: A descarga foi distribuída de forma uniforme na seção transversal do rio. Isso simplifica a nossa análise para uma dimensão espacial, porque não precisamos considerar variações na profundidade ou largura do rio.
  3. Fluxo Unidimensional: Assumimos que o fluxo do rio é unidimensional. Ou seja, o movimento do poluente ocorre principalmente na direção do fluxo do rio, sem componentes significativas em outras direções.
  4. Isotropia da Difusão: Consideramos que o processo de difusão é isotrópico, ou seja, a difusão ocorre igualmente em todas as direções, o que nos permite usar um único coeficiente de difusão $ D $.
  5. Condicional de Pontos Longínquos: Para resolver a equação, assumimos que estamos olhando para pontos longínquos ao longo do rio, onde a influência da descarga inicial se espalhou suficientemente.

Passo 4

Com essas simplificações, a equação de advecção-difusão se torna mais manejável para encontrar uma solução analítica. Ao resolver a equação com uma condição inicial de descarga instantânea e distribuição uniforme, chegamos à expressão que você forneceu.
Vamos entender os termos da solução:
  • $ M $ é a massa total do poluente lançado.
  • $ A $ é a área da seção transversal do rio ($ A = h \times B $, onde $ h $ é a profundidade e $ B $ a largura).
  • A função exponencial descreve como a concentração diminui conforme nos afastamos do ponto de descarga e conforme o tempo passa.
  • O termo $ \sqrt{4 \pi D t} $ no denominador normaliza a distribuição da concentração.

Resposta

As simplificações feitas incluem considerar a descarga como uma fonte instantânea distribuída uniformemente na seção transversal do rio, assumir um fluxo unidimensional na direção do rio, tratar a difusão como isotrópica com um único coeficiente de difusão, e focar em pontos longínquos onde a solução analítica é válida. Essas suposições permitem reduzir a equação de advecção-difusão original para a solução analítica apresentada.

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