A equação de uma curva é dada implicitamente por x^2 + y^2 = 25. Use derivação implícita para encontrar d/y d/x e determine o valor da derivada em x = 3 e y = 4.

Passo 1

Então, a gente tem uma equação que representa uma curva: . A matéria que vamos usar aqui é derivação implícita, que é uma técnica para encontrar a taxa de variação de em relação a quando não está isolado. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções e manipular equações.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que ao derivar em relação a , precisamos multiplicar pela derivada de em relação a , que é . Então:

Passo 3

Agora, vamos fazer as derivadas:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
  • A derivada de uma constante, como 25, é 0.
Então, nossa equação fica:

Passo 4

Agora, vamos isolar :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Finalmente, vamos substituir os valores dados: e :

Resposta

A derivada em e é .

Exercícios relacionados