Calcule a derivada da função
usando derivação implícita.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é útil quando
está definida de forma que não podemos resolver facilmente para
em termos de
.
Passo 2
Vamos começar derivando ambos os lados da equação
em relação a
. Lembre-se de que
é uma função de
, então precisamos usar a regra da cadeia quando derivamos termos que envolvem
.
Derivando o lado esquerdo:
Passo 3
Agora, vamos derivar o lado direito,
. Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, multiplicada pela derivada de
em relação a
. Aqui,
, então precisamos derivar
em relação a
.
Derivando o lado direito:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
. Como
e
são funções de
, usamos a regra do produto:
Passo 5
Substituímos essa derivada na equação anterior:
Passo 6
Agora, precisamos resolver essa equação para
. Primeiro, vamos distribuir o
:
Passo 7
Vamos isolar
no lado esquerdo. Para isso, subtraímos
de ambos os lados:
Passo 8
Fatoramos
no lado esquerdo:
Passo 9
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A derivada da função
é: