Calcule a derivada da função y = sen(x y) usando derivação implícita.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é útil quando está definida de forma que não podemos resolver facilmente para em termos de .

Passo 2

Vamos começar derivando ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se de que é uma função de , então precisamos usar a regra da cadeia quando derivamos termos que envolvem .
Derivando o lado esquerdo:

Passo 3

Agora, vamos derivar o lado direito, . Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , multiplicada pela derivada de em relação a . Aqui, , então precisamos derivar em relação a .
Derivando o lado direito:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a . Como e são funções de , usamos a regra do produto:

Passo 5

Substituímos essa derivada na equação anterior:

Passo 6

Agora, precisamos resolver essa equação para . Primeiro, vamos distribuir o :

Passo 7

Vamos isolar no lado esquerdo. Para isso, subtraímos de ambos os lados:

Passo 8

Fatoramos no lado esquerdo:

Passo 9

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados