Uma lâmpada está pendurada em uma sala de altura constante. Um homem de 1,8 metros de altura caminha em linha reta para longe da lâmpada a uma taxa de
. Se a lâmpada está a 4 metros de altura, determine a taxa com que o comprimento de sua sombra está aumentando quando ele está a 3 metros de distância diretamente abaixo da lâmpada.
Passo 1
Vamos resolver um problema de taxas relacionadas, que faz parte do estudo de cálculo diferencial. Aqui, precisamos entender como a sombra de uma pessoa muda à medida que ela se afasta de uma fonte de luz. Para isso, vamos usar triângulos semelhantes e derivadas para encontrar a taxa com que o comprimento da sombra está aumentando.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as variáveis envolvidas:
- Seja
a distância do homem em relação à base da lâmpada. - Seja
o comprimento da sombra do homem.
Sabemos que:
- A altura da lâmpada é 4 metros.
- A altura do homem é 1,8 metros.
- A taxa de afastamento do homem é
. - Queremos encontrar
quando .
Passo 3
Vamos usar triângulos semelhantes para relacionar
e
. O triângulo formado pela lâmpada, a base e a ponta da sombra é semelhante ao triângulo formado pela altura do homem, a distância
e a sombra
.
A relação de semelhança nos dá:
Isso se traduz em:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
em função de
:
Simplificando:
Agora, diferencie ambos os lados em relação ao tempo
:
Passo 5
Sabemos que
. Substituindo:
Resposta
A taxa com que o comprimento da sombra está aumentando quando o homem está a 3 metros da lâmpada é aproximadamente 1,23 metros por segundo.