Uma lâmpada está pendurada em uma sala de altura constante. Um homem de 1,8 metros de altura caminha em linha reta para longe da lâmpada a uma taxa de 1,5 m/s. Se a lâmpada está a 4 metros de altura, determine a taxa com que o comprimento de sua sombra está aumentando quando ele está a 3 metros de distância diretamente abaixo da lâmpada.

Passo 1

Vamos resolver um problema de taxas relacionadas, que faz parte do estudo de cálculo diferencial. Aqui, precisamos entender como a sombra de uma pessoa muda à medida que ela se afasta de uma fonte de luz. Para isso, vamos usar triângulos semelhantes e derivadas para encontrar a taxa com que o comprimento da sombra está aumentando.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as variáveis envolvidas:
  • Seja a distância do homem em relação à base da lâmpada.
  • Seja o comprimento da sombra do homem.
Sabemos que:
  • A altura da lâmpada é 4 metros.
  • A altura do homem é 1,8 metros.
  • A taxa de afastamento do homem é .
  • Queremos encontrar quando .

Passo 3

Vamos usar triângulos semelhantes para relacionar e . O triângulo formado pela lâmpada, a base e a ponta da sombra é semelhante ao triângulo formado pela altura do homem, a distância e a sombra .
A relação de semelhança nos dá:
â
Isso se traduz em:

Passo 4

Agora, vamos resolver para em função de :
Simplificando:
Agora, diferencie ambos os lados em relação ao tempo :

Passo 5

Sabemos que . Substituindo:

Resposta

A taxa com que o comprimento da sombra está aumentando quando o homem está a 3 metros da lâmpada é aproximadamente 1,23 metros por segundo.

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