Um balão está sendo inflado e o volume do balão aumenta a uma taxa de
. Se o raio do balão é dado por
, e o volume do balão é dado por
, encontre a taxa de variação do raio em relação ao tempo quando
.
Passo 1
Então, temos um balão que está sendo inflado, e o volume dele está aumentando a uma taxa de
. Queremos descobrir a velocidade com que o raio do balão está aumentando quando o raio é
. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do volume de uma esfera e calcular como o raio muda ao longo do tempo usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de uma esfera:
Aqui,
é o volume e
é o raio da esfera (ou balão, no caso).
Passo 3
Queremos encontrar a taxa de variação do raio em relação ao tempo, ou seja,
. Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo
. Aplicando a derivada em ambos os lados:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia na derivação, temos:
Aqui, derivamos
trazendo o expoente para frente e diminuindo o expoente em 1, multiplicado pela derivada de
em relação ao tempo.
Passo 5
Agora, queremos isolar
. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por
:
Passo 6
Sabemos que
e
. Substituindo esses valores na equação:
Resposta
A taxa de variação do raio em relação ao tempo quando
é
.