Um balão está sendo inflado e o volume do balão aumenta a uma taxa de 4 cm^3/s. Se o raio do balão é dado por r(t), e o volume do balão é dado por V = (4/3) pi r^3, encontre a taxa de variação do raio em relação ao tempo quando r = 2 cm.

Passo 1

Então, temos um balão que está sendo inflado, e o volume dele está aumentando a uma taxa de . Queremos descobrir a velocidade com que o raio do balão está aumentando quando o raio é . Para resolver isso, vamos usar a fórmula do volume de uma esfera e calcular como o raio muda ao longo do tempo usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de uma esfera:
Aqui, é o volume e é o raio da esfera (ou balão, no caso).

Passo 3

Queremos encontrar a taxa de variação do raio em relação ao tempo, ou seja, . Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo . Aplicando a derivada em ambos os lados:

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia na derivação, temos:
Aqui, derivamos trazendo o expoente para frente e diminuindo o expoente em 1, multiplicado pela derivada de em relação ao tempo.

Passo 5

Agora, queremos isolar . Para isso, dividimos ambos os lados da equação por :

Passo 6

Sabemos que e . Substituindo esses valores na equação:

Resposta

A taxa de variação do raio em relação ao tempo quando é .

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