A equação d y / d x = y / (x + raiz(x y)) é homogênea

Passo 1

Vamos lá! Temos a equação diferencial e foi dito que ela é homogênea. Isso significa que podemos resolver essa equação usando técnicas específicas para equações homogêneas. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial homogênea e como aplicar uma substituição adequada para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação homogênea. Uma equação diferencial de primeira ordem é dita homogênea se todos os termos podem ser expressos como funções homogêneas do mesmo grau. Nesse caso, podemos fazer uma substituição do tipo para simplificar a equação.

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Isso implica que . Agora, precisamos encontrar em termos de e .

Passo 4

Derivando em relação a , temos:
Agora, substituímos e na equação original.

Passo 5

Substituindo na equação , ficamos com:

Passo 6

Agora, vamos isolar :
Simplificando:

Passo 7

Agora, separamos as variáveis:
Simplificando o lado esquerdo:

Passo 8

Integramos ambos os lados:
Calculando as integrais:

Passo 9

Substituímos :
Simplificando:

Passo 10

Podemos rearranjar a equação para deixá-la mais organizada:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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