Vamos lá! Temos a equação diferencial e foi dito que ela é homogênea. Isso significa que podemos resolver essa equação usando técnicas específicas para equações homogêneas. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial homogênea e como aplicar uma substituição adequada para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação homogênea. Uma equação diferencial de primeira ordem é dita homogênea se todos os termos podem ser expressos como funções homogêneas do mesmo grau. Nesse caso, podemos fazer uma substituição do tipo para simplificar a equação.
Passo 3
Vamos fazer a substituição . Isso implica que . Agora, precisamos encontrar em termos de e .
Passo 4
Derivando em relação a , temos:
Agora, substituímos e na equação original.
Passo 5
Substituindo na equação , ficamos com:
Passo 6
Agora, vamos isolar :
Simplificando:
Passo 7
Agora, separamos as variáveis:
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 8
Integramos ambos os lados:
Calculando as integrais:
Passo 9
Substituímos :
Simplificando:
Passo 10
Podemos rearranjar a equação para deixá-la mais organizada: