Nos problemas de 1 a 18, use a Definição apresentada para a Transformada de Laplace por partes e determine L{f(t)}.
f(t) = { 2t + 1, 0 <= t < 1; 0, t >= 1 }

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para encontrar a Transformada de Laplace da função definida por partes. A função é para e para . Vamos usar a definição da Transformada de Laplace por partes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Basicamente, ela transforma uma função do tempo em uma função no domínio da frequência usando a integral:
Como a função é definida de forma diferente em dois intervalos, vamos dividir a integral nesses intervalos.

Passo 3

Para , . Então, a integral nesse intervalo fica:
Para , , então a integral nesse intervalo é zero. Portanto, só precisamos resolver a primeira parte.

Passo 4

Vamos resolver a integral:
Vamos separar em duas integrais:
Agora, vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 5

Primeira integral:
Para resolver isso, usamos a integração por partes. Seja e . Então, e .
Aplicando a fórmula:
Integrando novamente, temos:
Avaliando de 0 a 1:
Simplificando:

Passo 6

Segunda integral:
A solução dessa é:

Passo 7

Agora, juntando as duas partes:
Simplificando:

Resposta

A Transformada de Laplace de é:

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico das seguintes funções:
© h(x, y) = y^2 + 1.
Seja f a função dada por f(x, y) = -1/(x^2 + y^2).
(a) Determine o domínio de f;
A equação e^x y' = y é linear.
A equação d y / d x = y / (x + raiz(x y)) é homogênea