Nos problemas de 1 a 18, use a Definição apresentada para a Transformada de Laplace por partes e determine .
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para encontrar a Transformada de Laplace da função definida por partes. A função é para e para . Vamos usar a definição da Transformada de Laplace por partes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Basicamente, ela transforma uma função do tempo em uma função no domínio da frequência usando a integral:
Como a função é definida de forma diferente em dois intervalos, vamos dividir a integral nesses intervalos.
Passo 3
Para , . Então, a integral nesse intervalo fica:
Para , , então a integral nesse intervalo é zero. Portanto, só precisamos resolver a primeira parte.
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Vamos separar em duas integrais:
Agora, vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 5
Primeira integral:
Para resolver isso, usamos a integração por partes. Seja e . Então, e .
Aplicando a fórmula: