A equação
é linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a equação
é linear. Vou te mostrar passo a passo como verificar isso e resolver a equação. A gente vai usar conceitos de equações diferenciais lineares de primeira ordem e aplicar o método do fator integrante para achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser linear. Uma equação diferencial de primeira ordem é linear se ela puder ser escrita na forma geral:
onde
e
são funções que dependem apenas de
. Vamos ver se conseguimos colocar a nossa equação nessa forma.
Passo 3
A equação dada é:
Para transformar isso na forma padrão, vamos dividir ambos os lados por
:
Agora, ela está na forma:
onde
e
. Como conseguimos escrever assim, a equação é realmente linear.
Passo 4
Agora que confirmamos que a equação é linear, vamos resolver usando o método do fator integrante. Primeiro, encontramos o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Vamos calcular essa integral.
Passo 5
Calculando a integral no expoente:
Ignorando a constante de integração (pois ela será absorvida na solução geral), temos:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
é uma constante arbitrária.