A equação e^x y' = y é linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a equação e^x y' = y é linear. Vou te mostrar passo a passo como verificar isso e resolver a equação. A gente vai usar conceitos de equações diferenciais lineares de primeira ordem e aplicar o método do fator integrante para achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser linear. Uma equação diferencial de primeira ordem é linear se ela puder ser escrita na forma geral:
onde P(x) e Q(x) são funções que dependem apenas de x. Vamos ver se conseguimos colocar a nossa equação nessa forma.

Passo 3

A equação dada é:
Para transformar isso na forma padrão, vamos dividir ambos os lados por e^x:
Agora, ela está na forma:
onde e . Como conseguimos escrever assim, a equação é realmente linear.

Passo 4

Agora que confirmamos que a equação é linear, vamos resolver usando o método do fator integrante. Primeiro, encontramos o fator integrante mu(x), que é dado por:
Substituindo P(x):
Vamos calcular essa integral.

Passo 5

Calculando a integral no expoente:
Ignorando a constante de integração (pois ela será absorvida na solução geral), temos:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante mu(x):
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
onde C é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação é:
onde C é uma constante arbitrária.

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