A equação de demanda de um produto é e seu custo mensal é .
Qual preço deve ser cobrado para maximizar o lucro?

Passo 1

Beleza! O enunciado diz que a equação de demanda é e o custo mensal é . Nosso objetivo é descobrir qual preço a gente deve cobrar para maximizar o lucro. Para resolver isso, vamos precisar entender de demanda, receita, custo e lucro, além de usar um pouquinho de cálculo com derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o lucro é a diferença entre a receita total e o custo total :

Passo 3

A receita total é o preço multiplicado pela quantidade vendida . A equação de demanda já relaciona e :

Passo 4

Agora, substituímos a receita e o custo na equação do lucro:
Simplificando:

Passo 5

Para encontrar o valor de que maximiza o lucro, vamos derivar em relação a e igualar a zero:

Passo 6

Igualando a derivada a zero:
Resolvendo para :

Passo 7

Agora que sabemos que , substituímos na equação de demanda para encontrar o preço:

Resposta

Para maximizar o lucro, o preço que deve ser cobrado é R$ 500.

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