Mostrar que cada uma das funções abaixo não tem derivada no ponto indicado:
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
E queremos mostrar que essa função não tem derivada no ponto
. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada e como ela se comporta em pontos onde a função muda de expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto
existe se os limites laterais (pela esquerda e pela direita) da taxa de variação da função nesse ponto forem iguais. Em outras palavras:
Se o limite pela esquerda for diferente do limite pela direita, ou se um dos limites não existir, então a derivada no ponto
não existe.
Passo 3
Vamos calcular o limite pela esquerda (
):
Para
, a função é
. Então:
Então, o limite pela esquerda é 0.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite pela direita (
):
Para
, a função é
. Então:
Aqui,
tende a
quando
se aproxima de 0 pela direita, e
tende a 0. Portanto, o limite pela direita é
.
Passo 5
Comparando os limites laterais:
- Limite pela esquerda: 0
- Limite pela direita:
Como os dois limites não são iguais (um é finito e o outro é infinito), a derivada no ponto
não existe.
Resposta
A função não tem derivada no ponto
, pois os limites das taxas de variação pela esquerda e pela direita são diferentes.
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