Mostrar que cada uma das funções abaixo não tem derivada no ponto indicado:

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
E queremos mostrar que essa função não tem derivada no ponto . Para isso, vamos precisar entender o que é derivada e como ela se comporta em pontos onde a função muda de expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto existe se os limites laterais (pela esquerda e pela direita) da taxa de variação da função nesse ponto forem iguais. Em outras palavras:
Se o limite pela esquerda for diferente do limite pela direita, ou se um dos limites não existir, então a derivada no ponto não existe.

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda ( ):
Para , a função é . Então:
Então, o limite pela esquerda é 0.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela direita ( ):
Para , a função é . Então:
Aqui, tende a quando se aproxima de 0 pela direita, e tende a 0. Portanto, o limite pela direita é .

Passo 5

Comparando os limites laterais:
  • Limite pela esquerda: 0
  • Limite pela direita:
Como os dois limites não são iguais (um é finito e o outro é infinito), a derivada no ponto não existe.

Resposta

A função não tem derivada no ponto , pois os limites das taxas de variação pela esquerda e pela direita são diferentes.

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