A receita mensal de vendas de um produto é
e seu custo é
. Obtenha a quantidade
que maximiza o lucro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a receita mensal de um produto é dada por
e o custo é
. Nosso objetivo aqui é encontrar a quantidade
que maximiza o lucro. Para isso, vamos usar conceitos de funções de lucro e otimização, que envolvem um pouco de cálculo para descobrir o ponto onde o lucro é maior.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o lucro (
) é a diferença entre a receita e o custo. Ou seja:
Passo 3
Vamos substituir as funções de receita e custo na equação do lucro:
Agora, simplificamos a expressão:
Então, a função de lucro fica:
Passo 4
Para maximizar o lucro, precisamos encontrar o ponto onde essa função atinge seu valor máximo. Como
é uma função quadrática com o coeficiente de
negativo (
), sabemos que seu gráfico é uma parábola que abre para baixo, ou seja, tem um ponto máximo.
Passo 5
Vamos usar o cálculo para encontrar esse ponto máximo. Precisamos calcular a derivada da função de lucro em relação a
e igualá-la a zero. A derivada nos dá a taxa de variação do lucro, e quando ela é zero, significa que estamos em um ponto de máximo ou mínimo.
A função de lucro é:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 6
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar o valor de
que maximiza o lucro:
Resolvendo para
:
Resposta
A quantidade que maximiza o lucro é 13 unidades.
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.
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