A receita mensal de vendas de um produto é e seu custo é . Obtenha a quantidade que maximiza o lucro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a receita mensal de um produto é dada por e o custo é . Nosso objetivo aqui é encontrar a quantidade que maximiza o lucro. Para isso, vamos usar conceitos de funções de lucro e otimização, que envolvem um pouco de cálculo para descobrir o ponto onde o lucro é maior.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o lucro ( ) é a diferença entre a receita e o custo. Ou seja:

Passo 3

Vamos substituir as funções de receita e custo na equação do lucro:
Agora, simplificamos a expressão:
Então, a função de lucro fica:

Passo 4

Para maximizar o lucro, precisamos encontrar o ponto onde essa função atinge seu valor máximo. Como é uma função quadrática com o coeficiente de negativo ( ), sabemos que seu gráfico é uma parábola que abre para baixo, ou seja, tem um ponto máximo.

Passo 5

Vamos usar o cálculo para encontrar esse ponto máximo. Precisamos calcular a derivada da função de lucro em relação a e igualá-la a zero. A derivada nos dá a taxa de variação do lucro, e quando ela é zero, significa que estamos em um ponto de máximo ou mínimo.
A função de lucro é:
A derivada de em relação a é:

Passo 6

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar o valor de que maximiza o lucro:
Resolvendo para :

Resposta

A quantidade que maximiza o lucro é 13 unidades.

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