A equação de diferenças de primeira ordem
, descreve um sistema de tempo discreto inicialmente em repouso.
Verifique que a resposta ao impulso desse sistema é
.
Verifique que a resposta ao impulso desse sistema é
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma equação de diferenças de primeira ordem:
, onde
. Isso está descrevendo um sistema de tempo discreto que começa parado, ou seja, inicialmente está em repouso. Nosso objetivo aqui é mostrar que a resposta ao impulso desse sistema é
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma resposta ao impulso, a função degrau unitário
, e como aplicar a equação de diferenças para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a resposta ao impulso. A resposta ao impulso
de um sistema é a saída do sistema quando a entrada
é um impulso unitário, ou seja,
. A função impulso
é igual a 1 quando
e 0 caso contrário.
Passo 3
Agora, vamos substituir
por
na equação de diferenças:
Aqui,
representa a saída do sistema para a entrada
, que é justamente
.
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar
. Primeiro, consideramos que o sistema está inicialmente em repouso, ou seja,
.
Para
:
Passo 5
Para
:
Passo 6
Para
:
Passo 7
Observando o padrão, vemos que para cada
, temos:
Passo 8
Além disso, lembramos que a função degrau unitário
é igual a 1 para
e 0 para
. Então, podemos escrever a resposta ao impulso como:
Resposta
A resposta ao impulso do sistema é
.