A equação de diferenças de primeira ordem y[n] - alpha * y[n-1] = x[n], 0 < alpha < 1, descreve um sistema de tempo discreto inicialmente em repouso.
Verifique que a resposta ao impulso desse sistema é h[n] = alpha^n u[n].
quadrado

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma equação de diferenças de primeira ordem: , onde . Isso está descrevendo um sistema de tempo discreto que começa parado, ou seja, inicialmente está em repouso. Nosso objetivo aqui é mostrar que a resposta ao impulso desse sistema é . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma resposta ao impulso, a função degrau unitário , e como aplicar a equação de diferenças para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a resposta ao impulso. A resposta ao impulso de um sistema é a saída do sistema quando a entrada é um impulso unitário, ou seja, . A função impulso é igual a 1 quando e 0 caso contrário.

Passo 3

Agora, vamos substituir por na equação de diferenças:
Aqui, representa a saída do sistema para a entrada , que é justamente .

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar . Primeiro, consideramos que o sistema está inicialmente em repouso, ou seja, .
Para :

Passo 5

Para :

Passo 6

Para :

Passo 7

Observando o padrão, vemos que para cada , temos:

Passo 8

Além disso, lembramos que a função degrau unitário é igual a 1 para e 0 para . Então, podemos escrever a resposta ao impulso como:

Resposta

A resposta ao impulso do sistema é .

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