A equação
em que
é constante, é conhecida como a Equação de Hermite.
(a) Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das soluções em torno de
e mostre que elas formam um conjunto fundamental de soluções.
(a) Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das soluções em torno de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a Equação de Hermite:
O desafio aqui é encontrar as quatro primeiras parcelas de cada solução ao redor de
e mostrar que essas soluções formam um conjunto fundamental. Para isso, vamos usar a série de potências, que é uma técnica bacana para resolver equações diferenciais como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Aqui,
são os coeficientes que vamos determinar. O objetivo é encontrar esses coeficientes até o quarto termo.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
Agora, substituímos
,
e
na Equação de Hermite:
Passo 4
Vamos ajustar os índices das somas para que todas estejam em termos de
:
- Para o termo de
, fazemos :
- Para o termo de
, fazemos :
- O termo de
já está em termos de :
Passo 5
Agora, juntamos tudo:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos encontrar os coeficientes até o quarto termo. Começamos assumindo dois valores iniciais para
e
, já que a solução geral tem dois parâmetros:
-
Primeira solução (
, ): Então, os primeiros quatro termos são: -
-
Segunda solução (
, ): Então, os primeiros quatro termos são: -
Resposta
As quatro primeiras parcelas de cada solução em torno de
são:
Essas soluções formam um conjunto fundamental, ou seja, são linearmente independentes e qualquer solução geral da Equação de Hermite pode ser expressa como uma combinação linear de
e
.