A equação
y'' - 2 x y' + lambda y = 0, -infinito < x < infinito
em que lambda é constante, é conhecida como a Equação de Hermite.
(a) Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das soluções em torno de x = 0 e mostre que elas formam um conjunto fundamental de soluções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a Equação de Hermite:
O desafio aqui é encontrar as quatro primeiras parcelas de cada solução ao redor de e mostrar que essas soluções formam um conjunto fundamental. Para isso, vamos usar a série de potências, que é uma técnica bacana para resolver equações diferenciais como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Aqui, são os coeficientes que vamos determinar. O objetivo é encontrar esses coeficientes até o quarto termo.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
Agora, substituímos , e na Equação de Hermite:

Passo 4

Vamos ajustar os índices das somas para que todas estejam em termos de :
  1. Para o termo de , fazemos :
  1. Para o termo de , fazemos :
  1. O termo de já está em termos de :

Passo 5

Agora, juntamos tudo:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos encontrar os coeficientes até o quarto termo. Começamos assumindo dois valores iniciais para e , já que a solução geral tem dois parâmetros:
  1. Primeira solução ( , ):
    Então, os primeiros quatro termos são:
  2. Segunda solução ( , ):
    Então, os primeiros quatro termos são:

Resposta

As quatro primeiras parcelas de cada solução em torno de são:
Essas soluções formam um conjunto fundamental, ou seja, são linearmente independentes e qualquer solução geral da Equação de Hermite pode ser expressa como uma combinação linear de e .

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