A equação de difusão
onde é uma constante positiva, descreve a difusão de calor por um sólido ou a concentração de poluentes no instante a uma distância da fonte de poluição ou a invasão de espécies de outro lugar em um novo habitat. Verifique que a função
é solução da equação de difusão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma função específica, que descreve como o calor ou poluentes se espalham, realmente resolve a equação de difusão. A equação de difusão que temos é:
Aqui, é uma constante positiva que representa a difusividade. A função que precisamos verificar é:
Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação ao tempo e à distância , e depois ver se a equação de difusão é satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é uma combinação de uma função de e uma função exponencial que também depende de . Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para derivar.

Passo 3

Vamos derivar em relação a :
Primeiro, derivamos em relação a :
Agora, derivamos o exponencial em relação a usando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do produto para encontrar :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Primeiro, derivamos em relação a :
Agora, derivamos novamente em relação a :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos multiplicar por :

Passo 7

Agora, comparamos e :
Vimos que os dois lados da equação de difusão são iguais, o que significa que a função satisfaz a equação de difusão.

Resposta

A função é, de fato, uma solução da equação de difusão.

Exercícios relacionados

Suponha que quando a produção de determinada mercadoria requer máquinas-hora e homens-hora, o custo de produção seja dado por . Determine o número de máquinas-horas e o número de homens-horas necessários para que a mercadoria tenha um custo mínimo.
O peso específico seco de um solo é igual a e o peso específico saturado é . O nível freático está a abaixo do nível do terreno e a ascensão
capilar é de 1,3m. Calcule a tensão vertical efetiva a uma profundidade de 6 m em kPa. (1,0 ponto)
O ensaio de sedimentação, segundo a NBR 7181, é feito com a utilização de defloculante (solução formada por água destilada e hexametafosfato de sódio). Com relação a isto: ( 1,0 ponto)
Em que condições você recomendaria a realização do ensaio em ambas as condições com e sem defloculante para um mesmo solo?