A equação de difusão
onde
é uma constante positiva, descreve a difusão de calor por um sólido ou a concentração de poluentes no instante
a uma distância
da fonte de poluição ou a invasão de espécies de outro lugar em um novo habitat. Verifique que a função
é solução da equação de difusão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma função específica, que descreve como o calor ou poluentes se espalham, realmente resolve a equação de difusão. A equação de difusão que temos é:
Aqui,
é uma constante positiva que representa a difusividade. A função que precisamos verificar é:
Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação ao tempo
e à distância
, e depois ver se a equação de difusão é satisfeita.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função
é uma combinação de uma função de
e uma função exponencial que também depende de
. Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para derivar.
Passo 3
Vamos derivar
em relação a
:
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Agora, derivamos o exponencial
em relação a
usando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra do produto para encontrar
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Agora, derivamos novamente em relação a
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos multiplicar
por
:
Passo 7
Agora, comparamos
e
:
Vimos que os dois lados da equação de difusão são iguais, o que significa que a função
satisfaz a equação de difusão.
Resposta
A função
é, de fato, uma solução da equação de difusão.