A equação de difusão
partial cpartial t=D partial^2 cpartial x^2
onde D é uma constante positiva, descreve a difusão de calor por um sólido ou a concentração de poluentes no instante t a uma distância x da fonte de poluição ou a invasão de espécies de outro lugar em um novo habitat. Verifique que a função
c(x, t)=1raiz4 pi D t e^-x^24 D t
é solução da equação de difusão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma função específica, que descreve como o calor ou poluentes se espalham, realmente resolve a equação de difusão. A equação de difusão que temos é:
partial cpartial t = D partial^2 cpartial x^2
Aqui, c(x, t) = 1raiz4 pi D t e^-x^24 D t é uma constante positiva que representa a difusividade. A função que precisamos verificar é:
Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação ao tempo e à distância , e depois ver se a equação de difusão é satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é uma combinação de uma função de e uma função exponencial que também depende de . Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para derivar.

Passo 3

Vamos derivar c(x, t) = 1raiz4 pi D t e^-x^24 D t em relação a ddt ( 1raiz4 pi D t ) = -12 cdot 1(4 pi D t)^3/2 cdot 4 pi D = -12 t cdot 1raiz4 pi D t :
ddt ( e^-x^24 D t ) = e^-x^24 D t cdot ( x^24 D t^2 )
Primeiro, derivamos em relação a :
Agora, derivamos o exponencial em relação a usando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do produto para encontrar partial cpartial t = ( -12 t cdot 1raiz4 pi D t ) e^-x^24 D t + 1raiz4 pi D t cdot ( x^24 D t^2 e^-x^24 D t ) :
partial cpartial t = -12 t c(x, t) + x^24 D t^2 c(x, t) = c(x, t) ( -12 t + x^24 D t^2 )
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial cpartial x = 1raiz4 pi D t cdot ( -2x4 D t ) e^-x^24 D t = -x2 D t c(x, t) em relação a partial^2 cpartial x^2 = ddx ( -x2 D t c(x, t) ) = -12 D t c(x, t) + x^24 D^2 t^2 c(x, t) , ou seja, partial^2 cpartial x^2 = c(x, t) ( -12 D t + x^24 D^2 t^2 ) .
Primeiro, derivamos em relação a :
Agora, derivamos novamente em relação a :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos multiplicar D partial^2 cpartial x^2 = D cdot c(x, t) ( -12 D t + x^24 D^2 t^2 ) = c(x, t) ( -12 t + x^24 D t^2 ) por :

Passo 7

Agora, comparamos partial cpartial t = c(x, t) ( -12 t + x^24 D t^2 ) = D partial^2 cpartial x^2 e :
Vimos que os dois lados da equação de difusão são iguais, o que significa que a função satisfaz a equação de difusão.

Resposta

A função é, de fato, uma solução da equação de difusão.

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