Para que valor(es) de
a equação
representa o conjunto vazio?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os valores de
que fazem com que a equação
não tenha nenhuma solução, ou seja, represente o conjunto vazio. Isso está relacionado ao estudo de superfícies no espaço tridimensional, especificamente esferas. Vamos precisar completar o quadrado para reescrever essa equação na forma padrão de uma esfera e descobrir quando ela não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de
,
e
:
Agora, vamos completar o quadrado para cada variável.
Passo 3
Para completar o quadrado de cada termo:
-
Para
:
Adicionamos e subtraímos: Isso se torna. -
Para
:
Adicionamos e subtraímos: Isso se torna. -
Para
:
Adicionamos e subtraímos: Isso se torna.
Passo 4
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Isolando os termos quadráticos:
Passo 5
Agora, sabemos que a equação de uma esfera é dada por:
Onde
é o centro da esfera e
é o raio. No nosso caso, temos:
Para que a esfera exista, o raio ao quadrado deve ser positivo:
Resposta
A equação
representa o conjunto vazio para todo valor de
menor que
. Ou seja, quando
.