Para que valor(es) de lambda a equação x^2+y^2+z^2-2 x-4 y+6 z=lambda representa o conjunto vazio?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os valores de lambda que fazem com que a equação x^2+y^2+z^2-2 x-4 y+6 z=lambda não tenha nenhuma solução, ou seja, represente o conjunto vazio. Isso está relacionado ao estudo de superfícies no espaço tridimensional, especificamente esferas. Vamos precisar completar o quadrado para reescrever essa equação na forma padrão de uma esfera e descobrir quando ela não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de x, y e z:
x^2 - 2x + y^2 - 4y + z^2 + 6z = lambda
Agora, vamos completar o quadrado para cada variável.

Passo 3

Para completar o quadrado de cada termo:
  • Para x^2 - 2x:
    Adicionamos e subtraímos (22)^2 = 1:
    x^2 - 2x + 1 - 1
    Isso se torna (x - 1)^2 - 1.
  • Para y^2 - 4y:
    Adicionamos e subtraímos (42)^2 = 4:
    y^2 - 4y + 4 - 4
    Isso se torna (y - 2)^2 - 4.
  • Para z^2 + 6z:
    Adicionamos e subtraímos (62)^2 = 9:
    z^2 + 6z + 9 - 9
    Isso se torna (z + 3)^2 - 9.

Passo 4

Substituindo de volta na equação original:
(x - 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 + (z + 3)^2 - 9 = lambda
Simplificando os termos constantes:
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 3)^2 - 14 = lambda
Isolando os termos quadráticos:
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 3)^2 = lambda + 14

Passo 5

Agora, sabemos que a equação de uma esfera é dada por:
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2
Onde (a, b, c) é o centro da esfera e r é o raio. No nosso caso, temos:
r^2 = lambda + 14
Para que a esfera exista, o raio ao quadrado deve ser positivo:
r^2 > 0 implies lambda + 14 > 0 implies lambda > -14

Resposta

A equação x^2+y^2+z^2-2 x-4 y+6 z=lambda representa o conjunto vazio para todo valor de lambda menor que -14. Ou seja, quando lambda < -14.

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