(Equação Exata) (t^2 + x^2) dt + (2tx - x) dx = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que você me mandou: . Esse tipo de equação pertence ao campo de Equações Diferenciais, especificamente as Equações Diferenciais Exatas. Para resolver, a gente vai precisar identificar uma função que, quando derivada, dá exatamente os termos que temos na equação. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma é exata se existir uma função tal que:
Isso significa que é uma função cuja derivada parcial em relação a t M e em relação a x N.

Passo 3

No nosso caso, temos:
Vamos verificar se a equação é realmente exata, calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata. Isso significa que existe uma função que podemos encontrar para resolver a equação.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função . Começamos integrando em relação a t:
Aqui, g(x) é uma função de x que surge da constante de integração, pois estamos integrando em relação a t.

Passo 5

Em seguida, vamos derivar em relação a x e igualar a para encontrar g(x):
Agora, igualamos as duas expressões:
Simplificando:

Passo 6

Agora, integramos para encontrar g(x):
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Substituindo g(x) de volta na expressão de :

Passo 8

A solução geral da equação diferencial exata é dada por . Então:
Podemos multiplicar tudo por 6 para simplificar:
Onde é uma nova constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação é , onde C é uma constante.

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