(Equação Exata)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que você me mandou:
. Esse tipo de equação pertence ao campo de Equações Diferenciais, especificamente as Equações Diferenciais Exatas. Para resolver, a gente vai precisar identificar uma função que, quando derivada, dá exatamente os termos que temos na equação. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma
é exata se existir uma função
tal que:
Isso significa que
é uma função cuja derivada parcial em relação a
dá
e em relação a
dá
.
Passo 3
No nosso caso, temos:
Vamos verificar se a equação é realmente exata, calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função
que podemos encontrar para resolver a equação.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função
. Começamos integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que surge da constante de integração, pois estamos integrando em relação a
.
Passo 5
Em seguida, vamos derivar
em relação a
e igualar a
para encontrar
:
Agora, igualamos as duas expressões:
Simplificando:
Passo 6
Agora, integramos
para encontrar
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Substituindo
de volta na expressão de
:
Passo 8
A solução geral da equação diferencial exata é dada por
. Então:
Podemos multiplicar tudo por 6 para simplificar:
Onde
é uma nova constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Se
e
, calcule
, onde
é uma função diferenciável.
Calcule o valor da integral
diretamente da definição (i.e., definição de integral de superfície);
Pesquise sobre campo vetorial conservativo. A seguir, determine se o campo vetorial é conservativo ou não.
(Equação Exata)
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