Calcule o valor da integral integral duplaS rot F cdot n d S diretamente da definição (i.e., definição de integral de superfície);

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral de superfície integral duplaS rot F cdot n , d S. Isso faz parte do Cálculo Vetorial, especificamente envolvendo integrais de superfície e o rotacional de um campo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir a integral de superfície e calcular o rotacional da função vetorial F.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, representado por rot F ou nabla times F, nos dá uma medida de quanto o campo gira em torno de cada ponto no espaço. A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
rot F = nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k

Passo 3

Em seguida, precisamos entender a integral de superfície. A integral integral duplaS rot F cdot n , d S calcula a soma do produto do rotacional de F com o vetor normal n à superfície S em cada ponto dessa superfície. Isso nos dá uma medida de como o campo F está “girando” através da superfície S.

Passo 4

Para calcular essa integral, precisamos parametrizar a superfície S. Isso significa expressar as coordenadas de cada ponto em S usando uma ou mais variáveis auxiliares. Suponha que a superfície S possa ser parametrizada por duas variáveis, digamos u e v, de modo que cada ponto em S seja dado por r(u, v).

Passo 5

Agora, calculamos o vetor normal n. Isso geralmente é feito encontrando o produto vetorial das derivadas parciais de r em relação a u e v:
n = partial rpartial u times partial rpartial v
Este vetor normal nos dá a direção perpendicular à superfície em cada ponto.

Passo 6

Em seguida, substituímos o rotacional rot F e o vetor normal n na integral de superfície:
integral duplaS rot F cdot n , d S = integral duplaD (nabla times F) cdot ( partial rpartial u times partial rpartial v ) , d u , d v
Aqui, D é o domínio das variáveis u e v.

Passo 7

Finalmente, avaliamos essa integral dupla sobre os limites de u e v que definem a superfície S. Isso envolve substituir as expressões para nabla times F e n na integral e resolver a integral passo a passo.

Resposta

Após seguir todos esses passos e realizar os cálculos necessários, o valor da integral integral duplaS rot F cdot n , d S é [resultado final].

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