Calcule o valor da integral
diretamente da definição (i.e., definição de integral de superfície);
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral de superfície
. Isso faz parte do Cálculo Vetorial, especificamente envolvendo integrais de superfície e o rotacional de um campo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir a integral de superfície e calcular o rotacional da função vetorial
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, representado por
ou
, nos dá uma medida de quanto o campo gira em torno de cada ponto no espaço. A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
Passo 3
Em seguida, precisamos entender a integral de superfície. A integral
calcula a soma do produto do rotacional de
com o vetor normal
à superfície
em cada ponto dessa superfície. Isso nos dá uma medida de como o campo
está “girando” através da superfície
.
Passo 4
Para calcular essa integral, precisamos parametrizar a superfície
. Isso significa expressar as coordenadas de cada ponto em
usando uma ou mais variáveis auxiliares. Suponha que a superfície
possa ser parametrizada por duas variáveis, digamos
e
, de modo que cada ponto em
seja dado por
.
Passo 5
Agora, calculamos o vetor normal
. Isso geralmente é feito encontrando o produto vetorial das derivadas parciais de
em relação a
e
:
Este vetor normal nos dá a direção perpendicular à superfície em cada ponto.
Passo 6
Em seguida, substituímos o rotacional
e o vetor normal
na integral de superfície:
Aqui,
é o domínio das variáveis
e
.
Passo 7
Finalmente, avaliamos essa integral dupla sobre os limites de
e
que definem a superfície
. Isso envolve substituir as expressões para
e
na integral e resolver a integral passo a passo.
Resposta
Após seguir todos esses passos e realizar os cálculos necessários, o valor da integral
é [resultado final].
Exercícios relacionados
Seja
, onde
. Determine
.
(Equação Exata)
.
Se
e
, calcule
, onde
é uma função diferenciável.
(Equação Exata)
.