Pesquise sobre campo vetorial conservativo. A seguir, determine se o campo vetorial é conservativo ou não.
Passo 1
Beleza! A gente vai investigar se o campo vetorial dado é conservativo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, mais especificamente sobre campos conservativos e o cálculo do rotacional (ou curl) do campo. Precisamos calcular o rotacional do campo vetorial
e verificar se ele é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar, ou seja,
. Uma propriedade chave dos campos conservativos é que o rotacional (curl) deles é zero em todas as direções.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
, que é dado por:
Vamos calcular cada componente:
- Componente i:
- Componente j:
- Componente k:
Passo 4
Juntando todas as componentes, o rotacional de
é:
Para o campo ser conservativo, todas as componentes do rotacional deveriam ser zero.
Resposta
Como o rotacional de
não é zero (tem componentes diferentes de zero), o campo vetorial
não é conservativo.
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.
Se
e
, calcule
, onde
é uma função diferenciável.
(Equação Exata)
.
Resolva o problema de valor incial
,
.