Pesquise sobre campo vetorial conservativo. A seguir, determine se o campo vetorial é conservativo ou não. F(x, y, z) = x^2 z^3 i + 2 x y z^3 j + 3 x y^2 z^2 k

Passo 1

Beleza! A gente vai investigar se o campo vetorial dado é conservativo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, mais especificamente sobre campos conservativos e o cálculo do rotacional (ou curl) do campo. Precisamos calcular o rotacional do campo vetorial e verificar se ele é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar, ou seja, . Uma propriedade chave dos campos conservativos é que o rotacional (curl) deles é zero em todas as direções.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F, que é dado por:
Vamos calcular cada componente:
  1. Componente i:
  1. Componente j:
  1. Componente k:

Passo 4

Juntando todas as componentes, o rotacional de F é:
Para o campo ser conservativo, todas as componentes do rotacional deveriam ser zero.

Resposta

Como o rotacional de F não é zero (tem componentes diferentes de zero), o campo vetorial não é conservativo.

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