Se r = x i + y j + z k e r = ||r||, calcule rot[f(r) r], onde f: R -> R é uma função diferenciável.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o rotacional de , onde e . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o rotacional (ou curl) de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional de um campo vetorial . A fórmula do rotacional é:
Isso significa que a gente vai derivar cada componente do vetor em relação às outras variáveis e combinar tudo isso conforme a fórmula.

Passo 3

No nosso caso, . Então, identificando as componentes:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias:
  1. Para a componente i:
Sabendo que , temos:
Então,
  1. Para a componente Q em relação a z:

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do rotacional:
Fazendo o mesmo para as outras componentes (j e k), veremos que todas elas também vão dar zero. Portanto, o rotacional de é o vetor nulo.

Resposta

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