Se
e
, calcule
, onde
é uma função diferenciável.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o rotacional de
, onde
e
. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o rotacional (ou curl) de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional de um campo vetorial
. A fórmula do rotacional é:
Isso significa que a gente vai derivar cada componente do vetor
em relação às outras variáveis e combinar tudo isso conforme a fórmula.
Passo 3
No nosso caso,
. Então, identificando as componentes:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias:
- Para a componente i:
Sabendo que
, temos:
Então,
- Para a componente Q em relação a z:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula do rotacional:
Fazendo o mesmo para as outras componentes (j e k), veremos que todas elas também vão dar zero. Portanto, o rotacional de
é o vetor nulo.
Resposta
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diretamente da definição (i.e., definição de integral de superfície);
Seja
, onde
. Determine
.
(Equação Exata)
.
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