Se a equação
é dimensionalmente correta, com
e
possuindo dimensões de força e comprimento e
sendo uma constante adimensional, determine a dimensão da grandeza
, tal que
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação que relaciona força (
) e comprimento (
) usando algumas constantes:
,
,
,
,
e
. A equação é:
Nosso objetivo é determinar a dimensão da grandeza
, onde:
Para resolver isso, vamos usar a análise dimensional, que nos ajuda a verificar se as equações físicas estão corretas em termos de unidades e a relacionar as dimensões das grandezas envolvidas.
Passo 2
Vamos começar atribuindo as dimensões conhecidas:
-
tem dimensão de força, que representamos como . -
tem dimensão de comprimento, então . -
é adimensional, ou seja, .
Agora, precisamos garantir que todos os termos na equação tenham a mesma dimensão que a força
.
Passo 3
Analisando o primeiro termo da equação:
.
Sabemos que
é adimensional, então
também é adimensional:
Portanto, a dimensão de
é simplesmente a dimensão de
.
Como esse termo deve ter a mesma dimensão que
, temos:
Passo 4
Agora, vamos analisar o segundo termo:
.
A função seno (
) opera sobre um ângulo, que é adimensional. Isso significa que o argumento do seno também deve ser adimensional:
Sabemos que
é uma constante adimensional, então:
Agora, a dimensão de
deve ser igual à dimensão de
:
Passo 5
Agora que temos as dimensões de
,
e
, podemos determinar a dimensão de
.
Sabemos que:
Vamos identificar as dimensões de cada parte:
-
-
é uma constante adimensional, pois está no expoente de que é adimensional: -
Passo 6
Agora, substituímos as dimensões na expressão de
:
Resposta
A dimensão da grandeza
é
.
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dimensionalmente correta, onde
e
possuem unidades de pressão e velocidade, respectivamente. Determine a unidade, no SI, da grandeza
.
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. Considere que
e
possuem dimensão de força e volume respectivamente, enquanto
e
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