Se a equação
F=alpha cdot k^c x+beta cdot sin (x^2 cdot d+pi)
é dimensionalmente correta, com F e x possuindo dimensões de força e comprimento e k sendo uma constante adimensional, determine a dimensão da grandeza S, tal que S=alpha cdot cd.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação que relaciona força ( F) e comprimento ( x) usando algumas constantes: alpha, k, c, beta, d e pi. A equação é:
F = alpha cdot k^c x + beta cdot sin (x^2 cdot d + pi)
Nosso objetivo é determinar a dimensão da grandeza S, onde:
S = alpha cdot cd
Para resolver isso, vamos usar a análise dimensional, que nos ajuda a verificar se as equações físicas estão corretas em termos de unidades e a relacionar as dimensões das grandezas envolvidas.

Passo 2

Vamos começar atribuindo as dimensões conhecidas:
  • F tem dimensão de força, que representamos como [F] = M L T^-2.
  • x tem dimensão de comprimento, então [x] = L.
  • k é adimensional, ou seja, [k] = 1.
Agora, precisamos garantir que todos os termos na equação tenham a mesma dimensão que a força F.

Passo 3

Analisando o primeiro termo da equação: alpha cdot k^c x.
Sabemos que k é adimensional, então k^c x também é adimensional:
[k^c x] = 1
Portanto, a dimensão de alpha cdot k^c x é simplesmente a dimensão de alpha.
Como esse termo deve ter a mesma dimensão que F, temos:
[alpha] = [F] = M L T^-2

Passo 4

Agora, vamos analisar o segundo termo: beta cdot sin(x^2 cdot d + pi).
A função seno ( sin) opera sobre um ângulo, que é adimensional. Isso significa que o argumento do seno também deve ser adimensional:
[x^2 cdot d + pi] = 1
Sabemos que pi é uma constante adimensional, então:
[x^2 cdot d] = 1 implies [d] = [x]^-2 = L^-2
Agora, a dimensão de beta cdot sin(cdots) deve ser igual à dimensão de F:
[beta] cdot 1 = [F] = M L T^-2 implies [beta] = M L T^-2

Passo 5

Agora que temos as dimensões de alpha, c e d, podemos determinar a dimensão de S.
Sabemos que:
S = alpha cdot cd
Vamos identificar as dimensões de cada parte:
  • [alpha] = M L T^-2
  • [c] é uma constante adimensional, pois está no expoente de k que é adimensional:
    [k^c x] = 1 implies [c x] = 1 implies [c] = [x]^-1 = L^-1
  • [d] = L^-2

Passo 6

Agora, substituímos as dimensões na expressão de S:
[S] = [alpha] cdot [c][d] = M L T^-2 cdot L^-1L^-2 = M L^-0 T^-2L^-2 = M L^2 T^-2

Resposta

A dimensão da grandeza S é M L^2 T^-2.

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