Se a equação
é dimensionalmente correta, com e possuindo dimensões de força e comprimento e sendo uma constante adimensional, determine a dimensão da grandeza , tal que .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação que relaciona força ( ) e comprimento ( ) usando algumas constantes: , , , , e . A equação é:
Nosso objetivo é determinar a dimensão da grandeza , onde:
Para resolver isso, vamos usar a análise dimensional, que nos ajuda a verificar se as equações físicas estão corretas em termos de unidades e a relacionar as dimensões das grandezas envolvidas.

Passo 2

Vamos começar atribuindo as dimensões conhecidas:
  • tem dimensão de força, que representamos como .
  • tem dimensão de comprimento, então .
  • é adimensional, ou seja, .
Agora, precisamos garantir que todos os termos na equação tenham a mesma dimensão que a força .

Passo 3

Analisando o primeiro termo da equação: .
Sabemos que é adimensional, então também é adimensional:
Portanto, a dimensão de é simplesmente a dimensão de .
Como esse termo deve ter a mesma dimensão que , temos:

Passo 4

Agora, vamos analisar o segundo termo: .
A função seno ( ) opera sobre um ângulo, que é adimensional. Isso significa que o argumento do seno também deve ser adimensional:
Sabemos que é uma constante adimensional, então:
Agora, a dimensão de deve ser igual à dimensão de :

Passo 5

Agora que temos as dimensões de , e , podemos determinar a dimensão de .
Sabemos que:
Vamos identificar as dimensões de cada parte:
  • é uma constante adimensional, pois está no expoente de que é adimensional:

Passo 6

Agora, substituímos as dimensões na expressão de :

Resposta

A dimensão da grandeza é .

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