Dada a equação
determine a equação dimensional do produto . Considere que e possuem dimensão de força e volume respectivamente, enquanto e possuem, ambos, dimensão de massa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu uma equação e pediu para descobrir a dimensão do produto . Na matéria que estamos lidando aqui é dimensional análise, que ajuda a verificar se as equações físicas fazem sentido em termos de unidades (como massa, força, volume, etc.).
Para resolver, precisamos saber as dimensões de cada variável na equação:
  • e têm dimensão de massa.
  • tem dimensão de força.
  • tem dimensão de volume.
  • e são as incógnitas cuja dimensão queremos descobrir.

Passo 2

Vamos reescrever a equação que nos foi dada:
Primeiro, notamos que o número 4 é adimensional, então não afeta as dimensões.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada lado da equação em termos de dimensões.
Lado Esquerdo:
Dimensão de : [M] (massa)
Dimensão de : [M] (massa)
Dimensão de : [?] (o que queremos descobrir)
Portanto, a dimensão do lado esquerdo é:
Lado Direito:
Dimensão de : [L³] (volume)
é uma função trigonométrica. O argumento de funções trigonométricas precisa ser adimensional, ou seja, sem dimensão.
Portanto, deve ser adimensional:
Assim, é adimensional, e a dimensão do lado direito é apenas:

Passo 4

Igualando as dimensões dos dois lados da equação:
Queremos encontrar . Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 5

Agora, precisamos expressar a dimensão da força . Sabemos que força é massa vezes aceleração:
Substituindo na expressão anterior:
Então, simplificando:

Resposta

A dimensão do produto é .

Exercícios relacionados

Se a expressão é dimensionalmente correta, com e determine a dimensão da grandeza .
Sabendo que a equação é dimensionalmente correta, determine o valor de . Considere que e possuem dimensões de distância, aceleração e velocidade, respectivamente.
Dada a equação dimensionalmente correta, onde e possuem unidades de pressão e velocidade, respectivamente. Determine a unidade, no SI, da grandeza .
Se a equação
é dimensionalmente correta, com e possuindo dimensões de força e comprimento e sendo uma constante adimensional, determine a dimensão da grandeza , tal que .