Dada a equação
m cdot n cdot alpha=4 cdot V cdot cos (3 cF)
determine a equação dimensional do produto alpha cdot c. Considere que F e V possuem dimensão de força e volume respectivamente, enquanto m e n possuem, ambos, dimensão de massa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu uma equação e pediu para descobrir a dimensão do produto alpha cdot c. Na matéria que estamos lidando aqui é dimensional análise, que ajuda a verificar se as equações físicas fazem sentido em termos de unidades (como massa, força, volume, etc.).
Para resolver, precisamos saber as dimensões de cada variável na equação:
  • m e n têm dimensão de massa.
  • F tem dimensão de força.
  • V tem dimensão de volume.
  • alpha e c são as incógnitas cuja dimensão queremos descobrir.

Passo 2

Vamos reescrever a equação que nos foi dada:
m cdot n cdot alpha = 4 cdot V cdot cos(3cF)
Primeiro, notamos que o número 4 é adimensional, então não afeta as dimensões.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada lado da equação em termos de dimensões.
Lado Esquerdo:
m cdot n cdot alpha
Dimensão de m: [M] (massa)
Dimensão de n: [M] (massa)
Dimensão de alpha: [?] (o que queremos descobrir)
Portanto, a dimensão do lado esquerdo é:
[M] cdot [M] cdot [alpha] = [M^2] cdot [alpha]
Lado Direito:
4 cdot V cdot cos(3cF)
Dimensão de V: [L³] (volume)
cos(3cF) é uma função trigonométrica. O argumento de funções trigonométricas precisa ser adimensional, ou seja, sem dimensão.
Portanto, 3cF deve ser adimensional:
[cF] = 1 Rightarrow [c] = [F]
Assim, cos(3cF) é adimensional, e a dimensão do lado direito é apenas:
[4] cdot [V] = [L^3]

Passo 4

Igualando as dimensões dos dois lados da equação:
[M^2] cdot [alpha] = [L^3]
Queremos encontrar [alpha cdot c]. Sabemos que [c] = [F], então:
[alpha] = [L^3][M^2]
Portanto:
[alpha cdot c] = [alpha] cdot [c] = [L^3][M^2] cdot [F]

Passo 5

Agora, precisamos expressar a dimensão da força [F]. Sabemos que força é massa vezes aceleração:
[F] = [M] cdot [L] cdot [T^-2]
Substituindo na expressão anterior:
[alpha cdot c] = [L^3][M^2] cdot [M] cdot [L] cdot [T^-2] = [L^4][M] cdot [T^-2]
Então, simplificando:
[alpha cdot c] = [M^-1 cdot L^4 cdot T^-2]

Resposta

A dimensão do produto alpha cdot c é [M^-1 cdot L^4 cdot T^-2].

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