Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de um muro retangular. Para os outros lados iremos usar 400 m de tela de arame, de modo a produzir uma área máxima. Qual o quociente do lado menor pelo maior?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um muro retangular onde um dos lados vai ser uma parede de tijolos. Os outros três lados vão usar 400 metros de tela de arame. A ideia é determinar as dimensões desse muro que maximizam a área. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e otimização, especificamente funções quadráticas para encontrar o máximo da área.
Passo 2
Vamos começar chamando de $ x $ o lado menor do retângulo e $ y $ o lado maior. Sabemos que a tela de arame será usada para os três lados restantes: dois lados de comprimento $ x $ e um lado de comprimento $ y $. Então, a equação da quantidade de arame usada é:
Passo 3
Queremos maximizar a área do retângulo, que é dada por:
Mas precisamos expressar $ A $ em termos de uma única variável. Da equação anterior, podemos resolver para $ y $:
Passo 4
Substituindo $ y $ na fórmula da área, teremos:
Agora, temos uma função quadrática em termos de $ x $:
Passo 5
Para encontrar o valor de $ x $ que maximiza a área, precisamos encontrar o vértice dessa parábola. A fórmula para encontrar o vértice de uma função quadrática $ ax^2 + bx + c $ é:
Aqui, $ a = -2 $ e $ b = 400 $. Então:
Passo 6
Agora que sabemos que $ x = 100 $ metros, podemos encontrar $ y $ usando a equação $ y = 400 - 2x $:
Passo 7
Por fim, queremos o quociente do lado menor pelo maior, ou seja, $ \frac{x}{y} $:
Resposta
O quociente do lado menor pelo maior é $ \frac{1}{2} $.