Determine o valor de a e b no polinômio p(x) = x³ + ax² + (b – 18)x + 1, sabendo que 1 é raiz do polinômio e p(2) = 25.
Os valores de a e b são respectivamente 10 e 6.
Os valores de a e b são respectivamente 9 e 1.
Os valores de a e b são respectivamente 10 e 1.
Os valores de a e b são respectivamente 9 e 6.
Os valores de a e b são respectivamente 8 e 4. Não sei / Desejo rever
Os valores de a e b são respectivamente 10 e 6.
Os valores de a e b são respectivamente 9 e 1.
Os valores de a e b são respectivamente 10 e 1.
Os valores de a e b são respectivamente 9 e 6.
Os valores de a e b são respectivamente 8 e 4. Não sei / Desejo rever
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um polinômio $ p(x) = x³ + ax² + (b – 18)x + 1 $ e precisamos encontrar os valores de $ a $ e $ b $. O enunciado nos dá duas informações importantes:
- 1 é raiz do polinômio, ou seja, quando substituímos $ x = 1 $ na função, o resultado é zero: $ p(1) = 0 $.
- $ p(2) = 25 $, ou seja, quando $ x = 2 $, a função vale 25.
Para resolver isso, vamos usar álgebra básica e a propriedade de que se um número é raiz de um polinômio, substituindo esse número na função devemos obter zero. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos usar a informação de que 1 é raiz do polinômio. Isso significa que $ p(1) = 0 $. Vamos substituir $ x = 1 $ na equação do polinômio:
Simplificando:
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 3
Agora, vamos usar a segunda informação: $ p(2) = 25 $. Substituindo $ x = 2 $ na equação do polinômio:
Simplificando:
Juntando os termos:
Agora, vamos isolar os termos com $ a $ e $ b $:
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 2:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos, por exemplo, subtrair a Equação 1 da Equação 2 para eliminar $ b $:
Simplificando:
Agora que sabemos que $ a = 10 $, vamos substituir esse valor na Equação 1 para encontrar $ b $:
Isolando $ b $:
Resposta
Os valores de $ a $ e $ b $ são respectivamente 10 e 6.