Determine o valor de a e b no polinômio p(x) = x³ + ax² + (b – 18)x + 1, sabendo que 1 é raiz do polinômio e p(2) = 25.
Os valores de a e b são respectivamente 10 e 6.
Os valores de a e b são respectivamente 9 e 1.
Os valores de a e b são respectivamente 10 e 1.
Os valores de a e b são respectivamente 9 e 6.
Os valores de a e b são respectivamente 8 e 4. Não sei / Desejo rever

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um polinômio $ p(x) = x³ + ax² + (b – 18)x + 1 $ e precisamos encontrar os valores de $ a $ e $ b $. O enunciado nos dá duas informações importantes:
  1. 1 é raiz do polinômio, ou seja, quando substituímos $ x = 1 $ na função, o resultado é zero: $ p(1) = 0 $.
  2. $ p(2) = 25 $, ou seja, quando $ x = 2 $, a função vale 25.
Para resolver isso, vamos usar álgebra básica e a propriedade de que se um número é raiz de um polinômio, substituindo esse número na função devemos obter zero. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos usar a informação de que 1 é raiz do polinômio. Isso significa que $ p(1) = 0 $. Vamos substituir $ x = 1 $ na equação do polinômio:
p(1) = 0
Simplificando:
x = 1
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
p(1) = (1)^3 + a(1)^2 + (b - 18)(1) + 1 = 0
Isso nos dá a primeira equação:
1 + a + (b - 18) + 1 = 0 çã

Passo 3

Agora, vamos usar a segunda informação: $ p(2) = 25 $. Substituindo $ x = 2 $ na equação do polinômio:
p(2) = 25
Simplificando:
x = 2
Juntando os termos:
p(2) = (2)^3 + a(2)^2 + (b - 18)(2) + 1 = 25
Agora, vamos isolar os termos com $ a $ e $ b $:
8 + 4a + 2b - 36 + 1 = 25
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 2:
4a + 2b - 27 = 25 çã

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
a + b = 16 (Equação 1) 2a + b = 26 (Equação 2) çãçã
Vamos resolver esse sistema. Podemos, por exemplo, subtrair a Equação 1 da Equação 2 para eliminar $ b $:
b
Simplificando:
(2a + b) - (a + b) = 26 - 16
Agora que sabemos que $ a = 10 $, vamos substituir esse valor na Equação 1 para encontrar $ b $:
a = 10
Isolando $ b $:
a = 10

Resposta

Os valores de $ a $ e $ b $ são respectivamente 10 e 6.

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