Dê a equação geral e a reduzida da esfera de raio 2 e centro
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A questão pede para a gente encontrar a equação geral e a equação reduzida de uma esfera que tem raio 2 e centro no ponto
. Para isso, vamos precisar lembrar como se formam as equações de uma esfera a partir do seu centro e raio.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação geral de uma esfera. A equação geral de uma esfera com centro no ponto
e raio
é dada por:
Essa equação basicamente diz que qualquer ponto
na superfície da esfera está a uma distância
do centro
.
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores que foram dados no enunciado na equação geral. Nosso centro é
, então
,
e
. O raio
é 2.
Substituindo esses valores na equação, temos:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação. Lembre-se que subtrair um número negativo é o mesmo que somar:
Essa é a equação reduzida da esfera, que já está na forma mais simplificada, mostrando claramente o centro e o raio.
Passo 5
Para encontrar a equação geral, precisamos expandir os termos da equação reduzida:
- Expandindo
:
- Expandindo
:
- Expandindo
:
Agora, somamos tudo e igualamos a 4:
Simplificando os termos constantes:
Finalmente, subtraindo 4 de ambos os lados para deixar a equação igualada a zero:
Resposta
A equação reduzida da esfera é:
E a equação geral da esfera é: