Dê a equação geral e a reduzida da esfera de raio 2 e centro (-1,-1,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A questão pede para a gente encontrar a equação geral e a equação reduzida de uma esfera que tem raio 2 e centro no ponto (-1, -1, 3). Para isso, vamos precisar lembrar como se formam as equações de uma esfera a partir do seu centro e raio.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação geral de uma esfera. A equação geral de uma esfera com centro no ponto (a, b, c) e raio r é dada por:
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2
Essa equação basicamente diz que qualquer ponto (x, y, z) na superfície da esfera está a uma distância r do centro (a, b, c).

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que foram dados no enunciado na equação geral. Nosso centro é (-1, -1, 3), então a = -1, b = -1 e c = 3. O raio r é 2.
Substituindo esses valores na equação, temos:
(x - (-1))^2 + (y - (-1))^2 + (z - 3)^2 = 2^2

Passo 4

Vamos simplificar essa equação. Lembre-se que subtrair um número negativo é o mesmo que somar:
(x + 1)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 4
Essa é a equação reduzida da esfera, que já está na forma mais simplificada, mostrando claramente o centro e o raio.

Passo 5

Para encontrar a equação geral, precisamos expandir os termos da equação reduzida:
  1. Expandindo (x + 1)^2:
x^2 + 2x + 1
  1. Expandindo (y + 1)^2:
y^2 + 2y + 1
  1. Expandindo (z - 3)^2:
z^2 - 6z + 9
Agora, somamos tudo e igualamos a 4:
x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 + z^2 - 6z + 9 = 4
Simplificando os termos constantes:
x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 2y - 6z + 11 = 4
Finalmente, subtraindo 4 de ambos os lados para deixar a equação igualada a zero:
x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 2y - 6z + 7 = 0

Resposta

A equação reduzida da esfera é:
(x + 1)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 4
E a equação geral da esfera é:
x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 2y - 6z + 7 = 0

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