A equação de uma hipérbole é
. Sabendo que a hipérbole passa pelos pontos
e
, determine
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação de uma hipérbole dada por
. Sabemos que essa hipérbole passa pelos pontos
e
. Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
.
Passo 2
A ideia é substituir as coordenadas dos pontos na equação da hipérbole para obter duas equações com duas incógnitas, que são
e
. Vamos começar substituindo o primeiro ponto
na equação.
Passo 3
Substituindo
e
na equação
, temos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, fazemos o mesmo com o segundo ponto
. Substituindo
e
na equação, temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 6
Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar
e
. Então, as equações ficam:
Passo 7
Agora, resolvemos o sistema de equações com as novas variáveis
e
:
Podemos multiplicar a segunda equação por 4 para eliminar o denominador:
Agora, temos:
Passo 8
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Isso simplifica para:
Ou seja:
Passo 9
Lembrando que
, temos:
Logo,
, então
.
Passo 10
Agora, substituímos
na primeira equação para encontrar
:
Simplificando:
Então:
Passo 11
Como
, temos:
Portanto,
, ou seja,
.
Resposta
Os valores são
e
.