A equação de uma hipérbole é -x^2p^2+y^2q^2=1. Sabendo que a hipérbole passa pelos pontos (1, raiz452) e (12, raiz1534), determine p e q.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação de uma hipérbole dada por . Sabemos que essa hipérbole passa pelos pontos e . Nosso objetivo é encontrar os valores de e .

Passo 2

A ideia é substituir as coordenadas dos pontos na equação da hipérbole para obter duas equações com duas incógnitas, que são e . Vamos começar substituindo o primeiro ponto na equação.

Passo 3

Substituindo -1^2p^2 + (raiz452)^2q^2 = 1 e -1p^2 + 454q^2 = 1 na equação , temos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, fazemos o mesmo com o segundo ponto -(12)^2p^2 + (raiz1534)^2q^2 = 1 . Substituindo -14p^2 + 15316q^2 = 1 e na equação, temos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 6

Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar e . Então, as equações ficam:

Passo 7

Agora, resolvemos o sistema de equações com as novas variáveis - a + 1534b = 4 e :
Podemos multiplicar a segunda equação por 4 para eliminar o denominador:
Agora, temos:

Passo 8

Subtraindo a primeira equação da segunda:
(-a + 1534b) - (-a + 454b) = 4 - 1
Isso simplifica para:
1084b = 3
Ou seja:
27b = 3 Rightarrow b = 327 = 19

Passo 9

Lembrando que 1q^2 = 19 , temos:
Logo, , então .

Passo 10

Agora, substituímos -a + 454 cdot 19 = 1 na primeira equação para encontrar -a + 54 = 1 :
-a = 1 - 54 = -14 Rightarrow a = 14
Simplificando:
Então:

Passo 11

Como 1p^2 = 14 , temos:
Portanto, , ou seja, .

Resposta

Os valores são e .

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